Решение. Из решения обратной геодезической задачи находим:

Из решения обратной геодезической задачи находим:

; ; S_АВ = 276,583 м.

Определяем координаты точки Т (прямая геодезическая задача):

Воспользуемся формулами (7.29) и (7.30).

Для треугольника АВМ: n = 24551,453; D = 53072,306.

Х_М(1) = 4569,689 м; Y_M(1) = 6569,716 м

Для треугольника ВМТ: n = -11749,929; D = 57984,954.

Х_М(2) = 4569,717 м; Y_M(2) = 6569,737 м.

Невязки в координатах:

Если это условие удовлетворяет необходимой точности привязки, то вычисляют средние значения координат точки М:

Х_М = 4569,703 м; Y_М = 6569,727 м.

Выполним оценку точности определения координат точки М по формуле (7.34). Для этого по теореме косинусов найдем углы γ в треугольниках АМВ и ВМТ при точке М (вычисления достаточно выполнить с точностью до 0,5⁰): γ₁ = 69,2⁰; γ₂ = 34,7⁰.

Из треугольников АВМ и ВМТ соответственно получим:

m_M1 = 0,037 м; m_M2 = 0,082 м; средняя погрешность m_M = 0,5 = 0,045 м.

73.4. Обратная угловая засечка

Привязка способом обратной угловой засечки может быть выполнена по трём исходным геодезическим пунктам, если определяемая точка не лежит на окружности, описанной по ним. Оптимально, когда определяемая точка находится внутри треугольника примерно на равных расстояниях от его вершин (рис. 7.8 а).

Удаление точки М от опасной окружности на 10% её радиуса уже обеспечивает решение задачи определения координат искомой точки. Для графической оценки положения точки М составляют схему привязки и контролируют выполнение условия .

Следует иметь в виду, что в данном случае не обеспечивается надёжный контроль привязки, поэтому целесообразно использовать для решения указанной задачи четыре исходных пункта, т.е. в определяемой точке необходимо ещё измерить угол β₃ на исходный пункт D.

Рис. 7.8. Обратная угловая засечка.

Схема обратной угловой засечки (а). Построение инверсионных треугольников (б).

Координаты точки М находят по формулам С.Г.Молочкова:

, (7.35)

, (7.36)

где ;

;

; .

;

При наличии четвёртого пункта (D) координаты точки М могут быть получены дважды: при использовании пунктов D, A и B и при использовании пунктов А, В и С. При этом может оказаться, что точность определения координат будет различной, в связи с чем целесообразно установить, относительно каких пунктов следует определять координаты точки М, а какой из пунктов будет контрольным. Указанная задача решается методом инверсионных треугольников.

Построение инверсионных треугольников выполняется на графической схеме привязки, построенной в произвольном масштабе длин, но с таким расчётом, чтобы отрезки S были не менее 6 – 7 см. На этих отрезках откладывают в принятом масштабе значения параметров q_i (градиентов):

. (7.37)

Получают соответствующие инверсионные треугольники: 123 – для пунктов D, A и B и 234 – для пунктов А, В и С (рис. 7.8 б). Из точек 1, 2, 3 и 4 опускают высоты h_i на соответствующие стороны и графически, в масштабе q, получают их значения.

Графическая оценка точности выполняется по формулам:

; , (7.38)

где М – средняя квадратическая погрешность определения координат точки М; m_β – средняя квадратическая погрешность измерения углов.

По минимальной величине М выбирают исходные пункты для вычисления координат по формулам (7.35) и (7.36).

Иногда координаты определяют два раза, по двум группам из трёх исходных пунктов, а оценку погрешности выполняют по средней её величине, как это делалось в предыдущих способах.

Контроль вычислений по четвёртому исходному пункту выполняют сравнением измеренного горизонтального угла (или углов, если пунктов более четырёх) с вычисленным его значением. Например, если контрольное направление выбрано на пункт D, то сравнивают

(7.39)

с тем же горизонтальным углом, измеренным в поле. Разница в полученных углах является критерием качества привязки. Для теодолитных ходов указанная разница не должна превышать 1'.

Передача дирекционного угла на определяемую линию MN выполняется с учётом значения горизонтального угла β₄ (правого или левого по ходу).

Аналитическая оценка точности определения координат точки М (линейная погрешность m_M) может быть выполнена по формуле

, (7.40)

где при использовании пунктов А, В и С; S и L определяют из решения обратной геодезической задачи.

Пример 7.6. Привязка способом обратной угловой засечки.

Исходные данные (схема рис. 7.8):

X_A = 5535,793 м; Х_В = 5633,352 м; Х_С = 2490,280 м; Х_D = 2385,336 м

Y_А = 3733,771 м; Y_В = 7984,056 м; Y_С = 8879,172 м; Y_D = 3694,242 м

β₁ = 84^о41'48"; β₂ = 81^о13'25"; β₃ = 138^о50'16"; β₄ = 32^о36'18"