Теория и практика логистического анализа

В основе логистического анализа лежит применение логистической функции, с помощью которой описываются законы роста, присущие многим формам и уровням жизни, а также сфере материального производства, процессам насыщения потребительского спроса и, как производной от них, транспортным процессам доставки грузов. Например, спроса на цветные телевизоры во второй половине ХХ века: сначала медленный, но все ускоряющийся рост доли семей, имеющих телевизор, переходящий равномерный рост; затем рост доли семей, имеющих цветной телевизор замедляется по мере приближения этого показателя к 100%.

График логистической функции имеет форму латинской буквы «S», положенной набок, поэтому его называют S –образной кривой. Эта кривая имеет две точки перегиба и характеризуется переходом от ускоряющегося роста к равномерному (вогнутость) и от равномерного к замедляющемуся (выпуклость).

В целом логистический закон отражает динамику многих процессов во времени и пространстве и во времени (например, зарождение нового организма или популяции, их отмирания, различных переходных состояний и т.п.). Логистической закономерности присуще свойство отражать изменения возрастающего ускорения процесса на замедляющееся или, наоборот, – при обратной форме кривой. Эта важная особенность дает особенность определить статистическим путем различные критические, оптимальные и другие практически ценные точки.

В основе логистической функции лежит закономерность, выраженная уравнением Ферхлюста:

, (1.1)

где – значения функции;

– время;

– расстояние между верхней и нижней асимптотами;

– нижняя асимптота, т.е. предел, с которого начинается рост функции;

– параметры, определяющие наклон, изгиб и точки перегиба графика логистической функции.

Для решения уравнения логистической функции первоначально надо определить верхнюю и нижнюю асимптоты. Это с достаточной точностью можно сделать по эмпирическому ряду путем простого его просмотра. Значения верхней асимптоты можно проверить аналитически по формуле:

, (1.2)

где , , – три эмпирических значения функции, взятые через равный интервал аргумента .

Рис 1. Графики логистических функций

Затем уравнение логистической функции выражается в следующей логарифмической форме:

, (1.3)

Обозначив левую часть этого уравнения через , получим параболу первого порядка

, (1.4)

Для определения параметров этого уравнения следующая система нормальных уравнений, решаемая методом наименьших квадратов:

(1.5)

Если найти из этих уравнений параметры и , то можно составить ряд величин , равных теоретическим значениям .

Определяя величины , можно легко составить ряд теоретических значений функции . Если , а верхняя асимптота =100%, или 1, то уравнение логистической функции упрощается до формы .

Закон роста, который присущ сфере материального производства, во многих случаях описывается уравнением Ферхлюста.

Таблица 1.1

Показатель	Годы
Годовой грузооборот, , тыс. т	0.4

Определить логистическую закономерность процесса увеличения перевозок в виде функции Ферхлюста

, (1.1)

где – расстояние между горизонтальными асимптотами функции Ферхлюста;

– нижняя асимптота;

и – эмпирические коэффициенты;

– время исследования процесса.

Решение

1) Придадим другой вид функции (1) и прологарифмируем ее:

. (1.2)

Принимаем ; (количество лет) (по значению) и вычислим:

Обозначим , имеем из формулы (2)

. (1.3)

Умножим выражение (3) на и получим второе уравнение для определения коэффициентов и :

. (1.4)

Просуммируем уравнение (3, 4) по годам от 1 до 5:

;

.

Для обсчета полученных выражений заполняем таблицу 1.2:

Таблица 1.2.

	, тыс. т
	0,4		355,955	354,955	2,55	2,55
			10,170143	9,170143	0,962	1,924
			1,9775278	0,9775278	-0,009871	-0,02961
			1,0625522	0,0625522	-1,204	-4,816
			1,0026901	0,0026901	-2,57	-12,85
					⅀=-0,27187	⅀=-13,22161

Решим систему нормальных уравнений методом наименьших квадратов:

Таким образом:. и

Определяем параметры функции Ферхлюста и оценим перспективы дальнейшего роста объема перевозок с перспективой на 1и год, т.е. .

На рисунке 2 представлен график полученной зависимости грузооборота от времени работы транспорта.

Рис. 2. График зависимости грузооборота от времени работы транспорта.

Вариант выбирают по номеру в журнале академической группы.