Выражения с одной и двумя переменными

Буква – это символ для обозначения числа.

Подготовительная работа по введению выражений с переменной проводится с 1 класса. С этой целью в учебники математики включаются:

• упражнения, в которых переменная обозначается окошком:

ٱ < 3 6 < ٱ ٱ + 2 = 5

Важно, чтобы учащиеся стремились подставить в окошко не одно, а поочередно несколько чисел, проверяя каждый раз, верная ли получается запись:

ٱ < 3 (0, 1, 2)

6 < ٱ (7, 8, 9, …)

ٱ + 2 = 5 (3)

• задачи с пропущенными числами М1, с. 81:

1 звено
2 звено
Всего

В ы в о д: таких задач можно составить много.

При введении выражений с переменной следует идти от числовых выражений к выражению с переменной.

Знакомство с выражением вида 5 + a

С этой целью можно составить задачи одного вида, но с различными числами.

Задача: «На полке стояло 5 книг. На полку поставили еще книг. Сколько книг стало на полке?»

Дети под руководством учителя подбирают числовые данные и решение полученных задач записывают числовыми выражениями (на доске):

5 + 3

5 + 9

5 + 7

5 + 13

5 + 10

Далее проводится анализ выражений (чем похожи, чем отличаются).

• Первое слагаемое одинаковое или постоянная величина. В математике про 2-е слагаемое говорят, что оно является переменной величиной. Переменную величину принято обозначать буквами латинского алфавита. Откройте таблицу на стр. 103 М3 (ч. 1).

По предложению детей учитель записывает 5 + а (сумма 5 и а).

• Это выражение с переменной. Что является переменной величиной? (2-е слагаемое).

• Какие значения принимала переменная в этих выражениях? Назовите их.

• Какие вообще значения может принимать переменная а в этом выражении (любое значение; такое, чтобы можно было вычислить сумму).

Наглядное пособие

Это пособие удачно иллюстрирует идею переменной.

Аналогично вводятся выражения вида

b – 9,

30 – c,

b 4,

a: 8,

60: b.

Работа над выражением с переменной проводится с целью пропедевтики (подготовки к изучению функции и ее свойств в средней школе).

На выражение с переменной можно смотреть как на функцию с одной переменной:

f (b) = b – 9

f (c) = 30 – c

f (b) = 60: b.

Независимая переменная – аргумент (х),

зависимая переменная – функция (у).

у = х - 9

у = 30 – х

у = 60: х.

С функцией связаны свойства:

• область определения функции,

• множество значений функции,

• вид монотонности (возрастание или убывание),

• вид функции (пропорциональная зависимость, линейная),

• экстремум (наибольшее и наименьшее значения).

С этой целью надо проводить специальную работу. Например:

30 - с
Свойство	Вопрос	Ответ
1. Область определения	Какие значения может принимать переменная с?	0, 1, 2, …, 30
2. Область значений	Какие значения принимает сама разность?	30, 29, …, 0
3. Вид монотонности	Как изменяется разность с изменением вычитаемого?	С увеличением вычитаемого значение разности уменьшается.
4. Экстремумы	При каком значении с разность будет наибольшей и наименьшей?	0, 30

При записи выражений с переменной используются две формы:

1) Задание: найди значение выражения при данных значениях переменной.

b 8 b = 6, 7, 8, 9

6 8

7 8

8 8

9 8

2) Задание: заполни таблицу.

b
b 8

b
60: b	30	15	12	6

При работе над произведением и частным выясняем, как изменяется результат с изменением компонентов. Здесь имеет место прямая и обратная пропорциональность.

Задание 9. Проанализируйте тему «Математические выражения с одной переменной» в учебнике М3 (1-4), ч. 1, с. 6-7.

Знакомство с выражением вида c + d

Задание 10. Рассмотрите разные подходы введения буквенных выражений. Какому из них вы отдадите предпочтение? Почему? Какие методы и приемы обучения использованы при ознакомлении учащихся с буквенными выражениями?

ЮХИМЕНКО, ТЕРЕНТЬЕВА (знакомство с выражением вида c + d)

1 вариант

Для ознакомления с выражениями с двумя переменными можно использовать специальное пособие с двумя «окошечками», аналогичное предыдущему.

Учитель может так провести объяснение:

• Здесь вы видите два «окошечка» и знак «+». На месте «окошечек» будут появляться числа. Какие тогда будем получать выражения? (Сумму чисел).

• Смотрите, на месте первого «окошечка» появилось число 43, а на месте второго – число 7. Прочитайте выражение (сумма чисел 43 и 7). Запишем его.

• Передвигаю ленту, какое теперь получилось выражение? (Сумма чисел 56 и 23). Запишем.

• Какое теперь получилось выражение? (Сумма 23 и 18).

Получается запись:

43 + 7

56 + 23

23 + 18

• Чем сходны эти выражения? (Это суммы чисел).

• Назовите значения первого слагаемого (43, 56, 23).

• Назовите значения второго слагаемого (7, 23, 18).

• Вы уже знаете, что вместо того, чтобы записывать разные числа, можно обозначить первое слагаемое буквой, например с, а второе слагаемое, например буквой d.

Учитель вставляет в «окошечки» буквы c и d.

• Какое выражение записано? (Сумма чисел c и d).

• Посмотрите на числовые выражения и скажите, какие значения принимала буква c? (43, 56, 23).

• Какие значения принимала буква d? (7, 23, 18).

• Найдите значение суммы c и d. (50, 79, 41).

II вариант

Детям объявляется, что будет проведена игра «Составление математических выражений». К доске вызываются трое учащихся, которым даются карточки с числами и знаком «+». Дети становятся у доски так, чтобы из карточек, которые они держат в руках, получилась сумма чисел, например, 10 + 7. Далее вызываются еще трое учащихся, которые становятся впереди ранее вызванных детей. Из карточке, которые дал им учитель, они тоже образуют математическое выражение: 8 + 8. Вызывается еще группа учащихся, которые из карточек образуют такое, например, выражение: 15 + 20.

Выясняется, что математических выражений можно составить много, так как карточки с числами можно раздать не только ученикам класса, но и ученикам всей школы, а также учащимся школ города и т.д. Дети замечают, что все составленные выражения есть суммы с различными входящими в них числами. Учитель поясняет, что вместо чисел, обозначающих первое слагаемое, можно записать какую-нибудь букву, например а (карточку, на которой записана буква а, получает ученик и становится впереди учащихся первой колонки). Вместо чисел, обозначающих второе слагаемое, тоже можно записать букву, например b (ученик с соответствующей карточкой становится впереди третьей колонки). Далее учитель предлагает прочитать новое выражение (ученик с карточкой, на которой записан знак «+», становится в средней колонке) и говорит, что это - буквенное выражение a + b. Из буквенного выражения можно получить любое числовое выражение, если вместо букв a и b подставить соответствующие числа. Затем учащиеся работают по учебнику. Аналогично вводится выражение c – d.

III вариант

Учащимся предложено рассмотреть рисунок и ответить на вопросы: «Какие выражения можно составить, передвигая подвижную ленту? Прочитайте их. Сравните выражения. Чем они похожи? Составьте свои примеры выражений на сложение». Далее учитель поясняет, что вместо любого числа, которое является первым слагаемым, можно записать букву, например a; вместо любого числа, которое является вторым слагаемым, тоже можно записать букву, например b. Тогда получится буквенное выражение a + b. Аналогичным образом организуется работа при введении буквенного выражения c – d.

a + b

Задание 11. Проанализируйте тему «Математические выражения с двумя переменными» в учебнике М3 (1-4), ч. 2, с. 10.