Решение типовой задачи

В таблице 3.1 приводятся данные об объеме инвестиций (, млн. долл.) за последние 16 лет по одному из регионов страны.

Табл. 3.1

	1,72	3,57	7,45	8,59	9,52	10,66	10,55	15,14

	17,05	20,46	20,03	27,52	31,72	36,34	42,59	43,51

Требуется:

1. Найти выборочные коэффициенты автокорреляции до 4-го порядка включительно, построить коррелограмму и по коррелограмме выявить тип процесса.

2. Полагая тренд линейным, найти его уравнение и проверить значимость полученного уравнения по критерию на уровне значимости .

3. Выполнить сглаживание временного ряда с интервалами сглаживания и года.

4. На уровне значимости выявить наличие или отсутствие автокорреляции возмущений, используя критерий Дарбина-Уотсона.

Решение выполним в среде MS Excel.

1. Вычислим выборочные коэффициенты автокорреляции до 4-го порядка включительно (). Для этого сформируем 4 расчетные таблицы для следующей структуры:

№ п/п
Сумма

Заполним таблицу для вычисления , т.е. при :

№ п/п
		1,72	2,9584	3,57	12,7449	6,1404
		3,57	12,7449	7,45	55,5025	26,5965
		7,45	55,5025	8,59	73,7881	63,9955
		8,59	73,7881	9,52	90,6304	81,7768
		9,52	90,6304	10,66	113,6356	101,4832
		10,66	113,6356	10,55	111,3025	112,463
		10,55	111,3025	15,14	229,2196	159,727
		15,14	229,2196	17,05	290,7025	258,137
		17,05	290,7025	20,46	418,6116	348,843
		20,46	418,6116	20,03	401,2009	409,8138
		20,03	401,2009	27,52	757,3504	551,2256
		27,52	757,3504	31,72	1006,158	872,9344
		31,72	1006,158	36,34	1320,596	1152,705
		36,34	1320,596	42,59	1813,908	1547,721
		42,59	1813,908	43,51	1893,12	1853,091
Сумма		262,91	6698,31	304,7	8588,471	7546,653

Вычислим по формуле 3.1:

.

Далее заполним таблицу для вычисления , т.е. при :

№ п/п
		1,72	2,9584	7,45	55,5025	12,814
		3,57	12,7449	8,59	73,7881	30,6663
		7,45	55,5025	9,52	90,6304	70,924
		8,59	73,7881	10,66	113,6356	91,5694
		9,52	90,6304	10,55	111,3025	100,436
		10,66	113,6356	15,14	229,2196	161,3924
		10,55	111,3025	17,05	290,7025	179,8775
		15,14	229,2196	20,46	418,6116	309,7644
		17,05	290,7025	20,03	401,2009	341,5115
		20,46	418,6116	27,52	757,3504	563,0592
		20,03	401,2009	31,72	1006,1584	635,3516
		27,52	757,3504	36,34	1320,5956	1000,0768
		31,72	1006,1584	42,59	1813,9081	1350,9548
		36,34	1320,5956	43,51	1893,1201	1581,1534
Сумма		220,32	4884,4014	301,13	8575,7263	6429,5513

Вычислим по формуле 3.1:

.

Выполняя аналогичные вычисления, находим остальные коэффициенты автокорреляции:

,

.

По итогам вычислений построим таблицу:

L	r(L)
	0,9851704
	0,9803119
	0,9705136
	0,9664745

По таблице при помощи Мастера диаграмм строим коррелограмму:

Рис. 3.5. Коррелограмма

Отсюда следует предположить, что это коррелограмма нестационарного временного ряда с ярко выраженным трендом и отсутствием циклических колебаний.

3. Сформируем расчетную таблицу следующей структуры:

Табл. 3.2

№ п/п
Сумма
Среднее

Введем исходные данные в таблицу и рассчитаем колонки , . Вычисляем суммы и средние значения столбцов с помощью функций СУММ(…) и СРЗНАЧ(…).

Определяем параметры линейного тренда по формулам:

,

.

В итоге получено уравнение тренда:

.

Вычислим поученные по модели , значения зависимой переменной и заполним колонку расчетной таблицы.

Далее выполняем расчет величин и . Из строки «Сумма» столбца выписываем значение остаточной суммы квадратов

.

По формуле 3.5 находим факторную сумму квадратов:

.

Наблюдаемое значение статистики определяем по формуле 3.7:

.

Табличное значение = определяем с помощью встроенной статистической функции FРАСПОБР по уровню значимости и числам свободы и . Поскольку , то можно сделать вывод о статистической значимости построенной модели.

3. Выполним механическое выравнивание по трем () и четырем точкам () с использованием формулы 3.8. Для этого сформируем расчетную таблицу со следующим титулом:

Табл. 3.3

Исходные данные	Сглаженные данные
		по 3 точкам	по 4 точкам

Заполним колонки , таблицы исходными данными.

Сглаживание по трем точкам выполним по формуле:

,

записывая её во второй ячейке колонки таблицы и с последующей протяжкой результата вычисления до 15 строки.

При сглаживании по четырем точкам вначале найдем скользящие средние по формуле:

.

Поскольку промежуточных уровней в таблице не предусмотрено, то задаем формулу во второй ячейке колонки с последующей протяжкой результата вычислений до 14 строки.

Затем попарно их центрируем по формуле:

,

которую задаем в третьей ячейке колонки , а результат протягиваем до 14 строки. В итоге имеем:

Исходные данные	Сглаженные данные
по 3 точкам	по 4 точкам
	1,72
	3,57	4,246666667	5,3325
	7,45	6,536666667	7,2825	6,3075
	8,59	8,52	9,055	8,16875
	9,52	9,59	9,83	9,4425
	10,66	10,24333333	11,4675	10,64875
	10,55	12,11666667	13,35	12,40875
	15,14	14,24666667	15,8	14,575
	17,05	17,55	18,17	16,985
	20,46	19,18	21,265	19,7175
	20,03	22,67	24,9325	23,09875
	27,52	26,42333333	28,9025	26,9175
	31,72	31,86	34,5425	31,7225
	36,34	36,88333333	38,54	36,54125
	42,59	40,81333333
	43,51

Результаты сглаживания представим в следующих графиках.

Рис. 3.6. Метод скользящей средней (по трем точкам)

Рис. 3.7. Метод скользящей средней (по четырем точкам)

Как видно из графиков, сглаживание по 4 точкам оказывается более предпочтительным.

4. Добавим к таблице 3.2 следующие колонки: .

Первые 15 значений колонки переносим в колонку , начиная с её второй строки с помощью команд: Копирование / Специальная вставка / Значения. Далее по соответствующим формулам заполняются остальные колонки таблицы.

et-1	et-et-1	(et-et-1)2	etet-1
3,13375	-0,892	0,795664	7,02508
2,24175	1,138	1,295044	7,57655
3,37975	-1,602	2,566404	6,00835
1,77775	-1,812	3,283344	-0,06089
-0,03425	-1,602	2,566404	0,05604
-1,63625	-2,852	8,133904	7,3439
-4,48825	1,848	3,415104	11,8501
-2,64025	-0,832	0,692224	9,16761
-3,47225	0,668	0,446224	9,73706
-2,80425	-3,172	10,06158	16,7589
-5,97625	4,748	22,5435	7,34033
-1,22825	1,458	2,125764	-0,28219
0,22975	1,878	3,526884	0,48426
2,10775	3,508	12,30606	11,8366
5,61575	-1,822	3,319684	21,3048
Сумма	0,66	77,0778	116,1465

Отметим, что первые строки всех добавленных колонок, начиная с колонки , будут пустыми. В строке «Сумма» находим необходимые данные:

,

и по формуле 3.9 находим значение критерия Дарбина-Уотсона:

.

С использованием формулы 3.10 определяем выборочное значение коэффициента автокорреляции:

.

По значениям 0,05, 16, 1 из таблицы теста Дарбина-Уотсона находим критические точки: . Поскольку , то по правилу 3.11 устанавливаем наличие положительной автокорреляции и в остатках. При этом выборочный коэффициент автокорреляции в остатках составляет величину .