Малая выборка

Приведенные в вопросах 3 и 4 формулы средней ошибки выборки показывают; что ее величина зависит от объёма выборки (n), степени колеблемости изучаемого признака в генеральной совокупности (σ2) и способа отбора. Причем, чем меньше объем выборки, тем большую величину стандартной ошибки следует ожидать, а это в свою очередь снижает точность оценки параметров генеральной совокуп­ности.

При выборках небольшого объема величина выборочной дисперсии используемой в качестве оценки дисперсии генеральной совокупности, может быть в значительной мере подвержена влиянию случайностей выборки. Поэтому при выборках небольшого объема методы оценки результатов выборочного наблюдения видоизменяются в сравнении с применяемыми в теории больших выборок.

Как правило, выборка считается малой, если обслёдуется не более 30 единиц: Таким образом, средняя ошибка малой выборки рассчитывается, по формуле:

В условиях малой выборки дисперсия выборочной совокупности не может рассматриваться в качестве оценки генеральной дисперсии.

Предельная ошибка выборки:

,

где t – коэффициент доверия, который определяется по закону распределения Стьюдента, открытому в 1908 г. английским математиком У. Госсетом (псевдоним — Стьюдент).

Величина отношения Стьюдента t (краткие выдержки)

К=n-1	Вероятность
0,95	0,99	0,997
	2,776	4,604	6,435
	2,262	3,250	4,024
	2,145	2,977	3,583
	2,086	2,845	3,376
	2,064	2,797	3,302
	2,048	2,763	3,250

Пример №4

Оздоровительный центр предлагает клиентам за короткий срок снижение веса до 10 кг. По результатам выборочного наблюдения 15 женщин выявлены следующие данные:

№	Снижение веса, кг	№	Снижение веса, кг	№	Снижение веса, кг	№	Снижение веса, кг	№	Снижение веса, кг
	10,2		8,4		13,7		6,1		4,7
	7,6		6,0		6,9		5,0		3,6
	6,1		5,7		5,2		3,7		3,2

Определите в каких пределах находится генеральный параметр.

Выборочная средняя составляет 6,41 кг ( кг)(т е среднее снижение веса у обследованных женщин составило 6,41 кг.

Выборочная дисперсия равна 7,061 ()

Следовательно, средняя ошибка выборки составит 0,71 кг.

кг

Оценим с вероятностью 0,99 предел возможных расхождений выборочной средней и генеральной средней. Так как число степеней свободы равно 14 (к = n-1= 15-1), то по таблице находим, что значение t, соответствующее вероятности 0,99, равно 2,977.

Тогда с вероятностью 0,99 можно предполагать, что ошибка выборочной средней будет не больше 2,114 кг (2,977 х 0,71), а снижение веса пациентов оздоровительного центра будет находиться в пределах от 4,3 до 8,52 кг (6,41 ±2,11). Следовательно, указанное в рекламе снижение веса на 10 кг имеет столь малую вероятность, что считается событием практически невозможным.