Классическая минимизация функции одной переменной

Из математического анализа известны следующие условия ло­кального экстремума функции f (х), дифференцируемой достаточное число раз.

1. Если функция f (х) дифференцируема в точке и достигает в этой точке локального экстремума, то (необходимое условие экстремума).

2. Пусть функция f (х) п раз дифференцируема в точке и в этой точке все производные f (х) до п - 1-го порядка включительно равны нулю, . Тогда, если n — нечетно, то не является точкой локального экстремума функции f (х). Если же n — четное число, то:

а) при — точка локального минимума f (х);

б) при — точка локального максимума f (х) (доста­точное условие экстремума).

Перечисленные условия позволяют предложить следующий путь решения задачи минимизации (2.1):

1) с помощью условия 1 находим все точки возможного экстрему­ма функции f (х) на интервале (а; b), т.е. корни уравнения

(2.8)

(стационарные точки), принадлежащие интервалу (а; b);

2) найденные стационарные точки исследуем в соответствии с условием 2, выделяя из них только точки локальных минимумов f (х);

3) значения f (х) в точках локальных минимумов и на концах отрезка [ а; b ] сравниваем между собой. Наименьшему из этих значений соответствует точка глобального минимума f (х) на [ а; b ].

3амечание. Применение условия 2 требует вычисления высших производных функции f (х), поэтому в большинстве случаев бывает проще сравнить значения f (х) во всех стационарных точках, не интересуясь их характером. С учетом этого можно предложить следующий алгоритм минимизации f (х) на отрезке [ а; b ] (классический метод).

Шаг 1. Решить уравнение (2.8) на интервале х Î (а; b), т.е. найти все стационарные точки x ₁,.., x _k-1Î (а; b). Положить x ₀ = а, x _k = b.

Шаг 2. Вычислить значения f (х) функции f (х) в точках x _i, i = 0,.., k.

Шаг 3. Найти f *= . Положить х *= x_m.

Пример 2.2. Классический метод минимизации.

Решить задачу f (х) =х ³ - З х +1 ® min, х Î [-2; 2].

Шаг 1. Находим корни уравнения f '(х) = З x ² - 3 = 0 из интервала (-2; 2): x ₁ = -1, x ₂ = 1. Полагаем x ₀ = -2, x ₃ = 2.

Шаг 2. Вычисляем значения f (х) в точках x_i, i = 0,.., 3: f (х ₀) = -17, f (х ₁) = 3, f (х ₂) = -1, f (х ₃) = 1.

Шаг 3. Находим f *= min(-l 7, 3, -1, 1) = - 17 = f (х ₀). Поэтому x * = х ₀ = -2, f *=-17.

При решении практических задач оптимизации классический метод имеет ограниченное применение. Это объясняется тем, что, во-первых, во многих случаях значения целевой функции f (х) находятся из измерений или экспериментов, а измерение производной f '(х) затруднительно или невозможно и, во-вторых, даже когда производная f '(х) задана аналитически или поддается измере­нию, решение уравнения (2.8) зачастую вызывает затруднения.