Условие Липшица

Применение некоторых методов одномерной минимизации воз­можно только в случае, если скорость изменения целевой функции f (х) на любом участке отрезка [ а; b ] ограничена некоторым числом, од­ним и тем же для всех участков. В этом случае говорят, что f (х) удов­летворяет на [ а; b ] условию Липшица. Целевые функции большинства практических задач оптимизации указанным свойством обладают.

Определение 2.3. Функция f (х) удовлетворяет на отрезке [ а; b ] ус­ловию Липшица, если существует такое число L > 0 (константа Липшица), что

(2.7)

для всех х' и х", принадлежащих [ а; b ].

Замечания:

1. Если неравенство (2.7) выполняется с константой L, то оно справедливо и при всех . Поэтому для функции, удовлетворяю­щей условию Липшица, существует бесконечное множество констант L из (2.7).

При использовании алгоритмов минимизации, включающих L как параметр, наилучшие результаты достигаются, как правило, если в ка­честве L берется минимальная из констант Липшица.

2. Из условия (2.7) непосредственно следует непрерывность f (х) на отрезке [ а; b ]. Поэтому, согласно теореме Вейерштрасса, функция f (х), удовлетворяющая на отрезке [ а; b ] условию Липшица, имеет на нем хотя бы одну точку минимума.

3. Условие (2.7) означает, что модуль углового коэффициента любой хорды графика f (х) не превосходит L.

Переходя в (2.7) к пределу при , убеждаемся, что если в не­которой точке существует касательная к графику функции f (х), то модуль ее уг­лового коэффициента также не может превышать L. Так, функция f (х) = на отрезке [0; 1] условию Липшица не удовлетворяет, потому что при угловой коэффициент касательной к ее графику k неограниченно возрастает (рис. 2.5).

4. Если функция f (х) имеет на отрезке [ а; b ] непрерывную произ­водную, то она удовлетворяет на этом отрезке условию Липшица с константой

По формуле конечных приращений для произвольных точек х', х" Î[ а; b ] имеем: , где x— некоторая точка, лежащая между х' и х". Отсюда с учетом условия получаем неравенство (2.7) для f (х).

5. Если a = x ₀ < x ₁<…< x _n = b, а функция f (х) непрерывна на [ а; b ] и удовлетворяет условию (2.7) на каждом из отрезков [ x_i, x_{i +1}], i = 0, 1,.., п - 1, с константой L _i, то она удовлетворяет условию Липшица и на всем отрезке [ а; b ] с константой