Выпуклые функции

Определение 2.2. Функция f(x), заданная на отрезке [ a; b ], называ­ется выпуклой на этом отрезке, если для всех х', х" [ а; b ] и произ­вольного числа [0; 1] выполняется неравенство

f [a x'+ (1- a) x" ] £ a f (x')+(l - a) f (x"). (2.4)

Перечислим основные свойства выпуклых функций.

1. Если функция f(x) выпукла на [ a; b ], то на любом отрезке [ х'; х" ] Ì [ a; b ] ее график расположен не выше хорды, проведенной через точки графика с абсциссами х' и х" (рис. 2.2).

Рис. 2.2. Взаимное расположение .

Пусть х' и х" — произвольные точки отрезка [ a; b ], причем х' < х". Легко проверить, что при любом a Î [0;1] точка x_a = a x^’ + (1-a) x" лежит на отрезке [ x’; х" ] и при непрерывном изменении a от 0 до 1 пробегает этот отрезок от точки х" (при a = 0) до точки x' (при a = 1).

Рассмотрим хорду графика f(x),проходящую через точки (х',f(х')) и (х",f(х")). Ордината y _a точки этой хорды, соответствующая абсциссе c, равна. Поэтому неравенство (2.4) графика выпуклой функции и хорды означает, что f (x _a)£ y _a, т.е. при любом расположении x _a, на отрезке [ х'; х" ] точка графика функции f(x) лежит не выше соответствую­щей точки хорды.

2. Из курса математического анализа известны следующие усло­вия выпуклости функции:

а) для того чтобы дифференцируе­мая на отрезке [ а; b ] функция f(x) была выпуклой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы производная f'(x) не убывала на [ а; b ];

Рис. 2.3.

б) для того чтобы дважды дифференцируемая на отрезке [ а; b ] функция f(x) была выпуклой на этом отрезке, необходимо и достаточно, чтобы при всех х Î[ а; b ] выполнялось неравенство f"(x) ³ 0.

3 Условие выпуклости для дифференцируемой на отрезке [ а; b ] функции f(x) означает, что на этом отрезке любая касательная к графику f(x) лежит не выше этого графика (рис. 2.3).

Уравнение касательной к графику f (х) в точке (x₀ , f(x₀)), x₀ Î[ а; b ] имеет вид: у (х)= f (x ₀)+ f’ (x ₀)(x-x ₀). По формуле конечных приращений для любого х Î[ а; b ] имеем: f (х)= f (x ₀)+ f’ (x)(x-x ₀), где точка x лежит между x и x ₀. Поэтому

f (х) - у (х)=[ f’ (x) - f’ (x ₀)](x-x ₀), х Î[ а; b ],

откуда с учетом того, что производная f’ (x) выпуклой функции не убывает, получаем:

f (x) -y (x)³ 0 (2.5)

для всех х Î[ а; b ].

4. Если f(x) — выпуклая дифференцируемая на отрезке [ а; b ] функция и в точке х* Î[ а; b ] выполняется равенство

f’ (x ^*) = 0 (2.6)

то х* является точкой глобального минимума f (х) на [ а; b ].

С учетом (2.6) уравнение касательной у(х)=f(х ₀ )+f’(х ₀ )(х-х ₀ ) кграфику f (x) для точки x ₀ =х* принимает вид у (х) =f (x *). Поэтому из (2.5) следует, что f (x) f (x *) для всех х Î[ а; b ], т.е. х* — точка глобального минимума f (x).

Благодаря свойству 3 выпуклых функций данное свойство приобретает простой геометрический смысл: поскольку касательная к графику f (x) в точке с абсциссой х * горизонтальна, а этот график распо­ложен не ниже касательной, то х* есть точка минимума f (x) (рис. 2.3).

Таким образом, равенство (2.6) для выпуклой дифференцируемой функции является не только необходимым условием глобального минимума (как для всякой дифферен­цируемой функции), но и его достаточным условием.

5. Можно показать, что всякая выпуклая непрерывная на отрезке [ а; b ] функция является и унимодальной на этом отрезке. Обратное, вообще говоря, неверно (рис. 2.4).

Таким образом, кроме перечис­ленных свойств, выпуклые функции обладают также и всеми свойствами унимодальных функций.

Замечание. При исследовании выпуклости функций на практике неравенство (2.4) удается использовать только в редких случа­ях. Поэтому для дифференцируемых достаточное число раз функций обычно применяют дифференциальные критерии выпуклости (см. свой­ство 2 выпуклых функций).

Непосредственная проверка унимодальности с помощью определения 2.1 также в большинстве случаев вызывает затруднения, и для обоснования унимодальности достаточно гладких функций часто используют те же критерии выпуклости. Если функция оказывается выпуклой, то можно утверждать (см. свойство 5), что она унимодальна. Разумеется, при отрицательном результате проверки функции на выпуклость нельзя сделать вывод о том, что она не унимодальна.