Минимум функции одной переменной

Пусть функция f (x) определена на множестве U вещественной оси R. Напомним некоторые основные понятия.

1. Число х* Î U называется точкой глобального (абсолютного) минимума или просто точкой минимума функции f (x) на множестве U, если f (x *) £ f (x) для всех хÎ U.

Значение f * = f (x *) = f(x) называют глобальным (абсолютным) минимумом или просто минимумом функции f (x) на множе­стве U.

Множество всех точек минимума f (x) на U будем в дальнейшем обозначать через U*.

2. Число ÎU называется точкой локального минимума функции f (x), если f (x) £ f (x) для всех x Î U, достаточно близких к , т.е. если существует e > 0 такое, что это неравенство выполняется для лю­бого .

3. Пусть функция f(x) ограничена снизу на множестве U, т.е.

f(x) ³ А >- ∞ для всех хÎ U. Число f _* называется точной нижней гранью функции f(x) на множестве U (), если f(x) f _* при всех х Î U и для любого e > 0 найдется точка x _e Î U такая, что f(x _e ) < f _* + e (т.е. сре­ди значений f(x) на множестве U найдутся как угодно близкие к f _*).

Для неограниченных снизу функций f(x) полагают f _* = - ∞.

Замечания:

1. Глобальный минимум f(x) является и локальным минимумом, а обратное, неверно.

2. Множество точек минимума U* функции f(x) на множестве U мо­жет быть пустым, состоять из конечного или бесконечного числа то­чек.

Например:

а) если f(x) =ln x, U = (0;1],то U* =ø;

б) если f(x) = х ², U = [- 1; 1], то U * = {0} — конечное множество;

в) если f(x) = sin² p x, U = R, то U=Z — бесконечное множество.

3. Если U* = ø, то . Таким образом, точная нижняя грань обобщает понятие минимума функции на случай U* = ø.

Пример 2.1. Точная нижняя грань функции, не имеющей точек минимума.

Пусть f(x) = , U = [1; + ∞).Покажем, что:

а) U* = ø, т.е. f(x) не имеет на U точек минимума;

б) = 0.

а) (Доказательство от противного.) Предположим, что U* ¹ ø, т.е. су­ществует хотя бы одна точка х * Î [1;+ ∞), такая, что

f(x * ) £ f(x) (2.2)

для всех х Î [1;+ ∞). Выберем произвольное число х ₀ > х *. Очевидно,

х₀ Î [1; + ∞), причем f (х *) = =f (x₀), т.е. получаем противоречие с неравенством (2.2). Поэтому исходное предположение неверно и U*= ø.

б) Для всех х Î [1;+ ∞) имеем: f(x) = > 0, т.е. число 0 удовлетворяет пер­вому из неравенств для точной нижней грани f(x).

Далее, пусть > 0. Возьмем произвольное > mах(, 1). Тогда, очевидно, x _e Î [1;+ ∞) и f (x _e)< =0+ , т.е. для числа 0 выполняется и второе нера­венство из определения точной нижней грани. Поэтому .

Если множество точек минимума функции f(x) на U — пусто, то задача минимизации f(x) теряет смысл. В этом случае можно ограни­читься поиском точки , в которой значение f(x) с заданной погрешностью приближает точную нижнюю грань функции f(x) на мно­жестве U, т.е. .

Широкий класс функций, для которых U* , определяет хорошо известная из математического анализа теорема Вейерштрасса, со­гласно которой непрерывная на замкнутом ограниченном множестве функция достигает на этом множестве своих минимального и макси­мального значений. Таким образом, пример (2.1) с непрерывной целе­вой функцией f(x) всегда имеет решение.