Унимодальные функции

Если функция f(x) на множестве U имеет, кроме глобального, ло­кальные минимумы, отличные от него, то минимизация f(x),как правило, сильно затрудняется. В частности, многие методы поиска точки миниму­ма f(x) приспособлены только для функций, у которых каждый локаль­ный минимум является одновременно и глобальным. Этим свойством об­ладают унимодальные функции.

Определение 2.1. Функция f(x) называется унимодальной на от­резке [ а; b ], если она непрерывна на [ а; b ] и существуют числа a и b, , такие, что:

1) если а < a, то на отрезке [ a; a] функция f(x) монотонно убывает;

2) если b < b, то на отрезке [b; b ] функция f(x) монотонно возра­стает;

3) при х Î [a; b] f(x) = f^* = .

Множество унимодальных на отрезке [ а; b ] функций мы будем обозначать через Q [ а; b ].

Отметим, что возможно вырождение в точку одного или двух отрезков из [ a; a], [a; b] и [b; b ]. Некоторые варианты расположения и вырождения в точку отрезков монотонности и постоянства унимодальной функции показаны на рис. 2.1.

Рис. 2.1.

Из определения 2.1 вытекают следующие основные свойства уни­модальных функций:

1. Любая из точек локального минимума унимодальной функции является и точкой ее глобального минимума на отрезке [ а; b ].

2. Функция, унимодальная на отрезке [ а; b ], является унимодаль­ной и на любом меньшем отрезке [ с; d ] [ а; b ].

3. Пусть f(x) Q [ а; b ] и . Тогда:

если , то x ^* [ a; x ₂];

если , то x ^* [ x ₁; b ],

где х* — одна из точек минимума f(x) на отрезке [ a; b ].