Інтерпретація гістограм

Корисну інформацію можна отримати, аналізуючи форму гістограми. Розрізняють декілька типів гістограм.

1. Звичайний тип (рис. 4.2). Інколи цей тип називають симетричним або дзвоноподібним. Середина гістограми співпадає (або близька до такого співпадіння) із середнім значенням вибіркової сукупності. Найбільша частота інтервалу знаходиться посередині гістограми і поступово зменшується у напрямку до граничних меж варіювання. Цей тип гістограми зустрічається найчастіше та відображає нормальний розподіл випадкової величини.

Рис. 4.2. Гістограма звичайного типу

2. Мультимодальний тип (функція називається унімодальною, якщо вона має у досліджуваному інтервалі один екстремум) або гребінка (рис. 4.3). У гістограмі такого типу частота інтервалів відрізняється стрибкоподібним характером. Такий тип гістограми зустрічається у тому випадку, коли частота в суміжних інтервалах коливається.

Рис. 4.3. Гістограма мультимодального типу

3. Гістограма із скосом з додатньої (від’ємної) сторони (рис. 4.4). Середнє значення такої гістограми зміщене вліво (вправо) від центру варіювання. Частоти інтервалів достатньо стрімко зменшуються у напрямку додатніх (від’ємних) значень. Форма такої гістограми є асиметричною і зустрічається, як правило, у тому випадку, якщо нижня (верхня) межа регулюється теоретично або за значенням допуску.

4. Розподіл з обривом зліва (справа) (рис. 4.5). Середнє значення у такого типу гістограм локалізовано далеко зліва (справа) від центру інтервалу розсіювання. Частоти інтервалів стрімко зменшуються в одному з напрямків і, навпаки, не суттєво - у другому. Можна говорити про чітко виражену асиметрію. Як правило, такий розподіл характерний для випадків незадовільної відтворюваності.

Рис. 4.4. Гістограма із скосом з додатньої сторони

Рис. 4.5. Гістограма із обривом зліва

5. Гістограма типу «плато» (рівномірний розподіл) (рис. 4.6). Частоти різних інтервалів створюють плато, оскільки всі інтервали мають приблизно рівні частоти. Така форма гістограми зустрічається у тому випадку, коли розсіювання сформоване на основі декількох видів різних типів розподілу з різним середніми значеннями.

Рис. 4.6. Гістограма типу «плато»

6. Гістограми бімодального типу (рис. 4.7). У деякому околі центру розсіювання такої гістограми частота є низькою, а на границях інтервалу розсіювання спостерігається два явно виражених піки. Такий тип розподілу характерний для випадку, коли змішуються два типи розподілу, причому середні значення цих розподілів знаходяться на деякій значній відстані один від одного.

7. Гістограма з ізольованим піком (рис. 4.8). У такого типу розподілах поруч із гістограмою звичайного типу з’являється малий ізольований пік. Така картина характерна для випадку коли існує помилка вимірювань або присутній не суттєвий вплив іншого типу розподілу.

Рис. 4.7. Гістограма бімодального типу

Рис. 4.8. Гістограма з ізольованим піком

Отже, гістограму можна вважати графічним відображенням існуючого в умовах виробництва розподілу випадкової величини. Але саме така візуалізація не дає змогу відповісти на одне вкрай важливе питання – чи при існуючому розподілі виконуються вимоги стандарту до показника якості, що досліджується? Адже встановлення тільки закону розподілу не може визначити частку дефектних виробів. Тому побудовані гістограми часто доповнюють нижньою (НГВ) і верхньою (ВГВ) граничними відхиленнями встановленого нормативними документами поля допуску.

Наведемо п’ять найбільш типових випадків з метою порівняння встановленого дослідженнями інтервалу розсіювання випадкової величини і поля допуску.

1. Інтервал розсіювання є меншим за поле допуску (рис. 4.9). У цьому випадку підтримка існуючого стану – це все, що потрібно для недопущення дефектів.

Рис. 4.9. Інтервал розсіювання є меншим за поле допуску

2. Інтервал розсіювання є рівним полю допуску (рис. 4.10). Умови бездефектного виробництва задовольняються, але не існує ніякого запасу. Тому зменшення інтервалу варіювання може вважатись актуальним завданням.

Рис. 4.10. Інтервал розсіювання дорівнює полю допуску

3. Інтервал розсіювання є рівним або меншим поля допуску, але за умов існуючого розподілу існує певна кількість дефектних виробів (рис. 4.11). У такому випадку, якщо йдеться про лінійні розміри контрольованих деталей, у процесі виробництва існує певна кількість дефектних виробів, причому брак вважається невиправним, оскільки розміри дефектних виробів є меншими від розмірів, що регламентуються стандартом. Очевидно, що ймовірною є ситуація, коли брак вважатиметься виправним через те, що розміри контрольованих деталей будуть більшими

Рис. 4.11. Інтервал розсіювання є рівним або меншим поля допуску,

але за умов існуючого розподілу існує певна кількість дефектних виробів

від гранично допустимих. Тоді для забезпечення бездефектного оброблення необхідно розрахувати величину різниці d між середнім значенням вибірки та середнім значенням поля допуску y _с.д. (рис. 4.11):

d= -y _с.д. (4.1)

Потім здійснюють переналагодження верстату, на якому здійснювалось оброблення, збільшуючи (для випадку, що показаний на рис. 4.11) або зменшуючи налагоджувальний розмір на величину d з метою недопущення браку. Після такого переналагодження інтервал розсіювання дорівнюватиме або буде меншим поля допуску і =y_с.д, а загальна картина розсіювання відповідатиме випадкам, які показані на рис. 4.9 або рис. 4.10.

4. Інтервал варіювання більший за поле допуску, причому у процесі виробництва однаково з’являється як виправний, так і невиправний брак (рис. 4.12).

Рис. 4.12. Інтервал варіювання більший за поле допуску, причому

у процесі виробництва існує виправний та невиправний брак

З метою недопущення браку у цій ситуації необхідно зменшувати інтервал варіювання. Якщо завдання зменшення цього інтервалу виконати неможливо, то можна збільшити налагоджувальний розмір на величину d (рис. 4.12), перевівши весь брак у розряд виправного, одночасно позбувшись невиправного. У цій ситуації необхідно пам’ятати про деякі обмеження:

· виходячи з певних технологічних міркувань не всі деталі виправного браку можна у процесі оброблення перевести у бездефектні (при повторному обробленні знов можуть виявлятись дефектні вироби і не завжди в умовах існуючого забезпечення технологічного процесу можливо зняти шар матеріалу будь-якої товщини);

· затрати на реалізацію заходів з переведення невиправного браку у виправний, а потім і ліквідацію дефектів, як правило, є суттєвими.

5. Інтервал варіювання більший за поле допуску, причому у процесі виробництва нерівномірно з’являється як виправний, так і невиправний брак (рис. 4.13).

Рис. 4.13. Інтервал варіювання більший за поле допуску,

причому у процесі виробництва нерівномірно з’являється

виправний і невиправний брак

Для уникнення браку тут, очевидно, одночасно потрібно зменшувати інтервал розсіювання і суміщати середину поля допуску з середнім значенням вибіркової сукупності.

Приклад 4.3. Зобразити поле допуску на гістограмі, взявши до уваги умови прикладу 4.2., і вважаючи НГВ=6,25; ВГВ=12,30. Розробити і умовно реалізувати заходи із ліквідації отримання дефектних виробів у процесі оброблення.

Побудуємо гістограму розподілу за даними прикладу 4.2. На цій гістограмі покажемо нижню і верхню межі поля допуску, зону браку на гістограмі заштрихуємо. Пунктирною лінією позначимо середнє значення вибіркової сукупності, а штрих-пунктирною – середнє значення допуску (рис. 4.14).

Рис. 4.14. Гістограма і допуск згідно з умовами прикладу 4.3

Для того, щоб ліквідувати брак у процесі оброблення, необхідно гістограму розподілу перемістити вправо на величину налагоджувального розміру d. Велична d=∆y=6,25-5,40=0,85 (0,85 – це величина зміненого інтервалу з метою виконання умови рівності максимального значення елементів вибіркової сукупності і кінцевого значення). У результаті переміщення отримаємо картину, зображену на рис. 4.15.

Рис. 4.15. Гістограма після реалізації заходів із усунення браку

У процесі досліджень показника якості часто потрібно вирішити завдання обчислення площі під кривою нормального розподілу, що обмежена вертикальними прямими (рис. 4.16).

Якщо прийнята статистична гіпотеза про відповідність емпіричного розподілу нормальному, то для того, щоб знайти площу фігури використовують нормовану функцію Лапласа. Площу під кривою приймають за одиницю або 100% якщо y є [-∞; +∞]. Табличне значення функції Лапласа визначає тільки половину площі фігури – від середнього значення до мінімального чи максимального значення інтервалу розсіювання. Для того, щоб визначити площу заштрихованої фігури на рис. 4.16 необхідно визначити спочатку координати у долях S для точок перетину прямих y₁ та y₂ то осі абсцис:

; (4.2)

Рис. 4.16. Обчислення площі під кривою нормального розподілу

Після визначення z₁ та z₂ визначають табличні значення Ф(z₁) та Ф(z₂), а площу заштрихованої фігури на рис. 4.16 обчислюють з виразу:

S_ф = Ф(z₂) - Ф(z₁) (4.3)

Приклад 4.4. Визначити частку бракованих деталей згідно із розсіюванням, представленим на рис. 4.14, вважаючи прийнятою гіпотезу про відповідність нормальному закону розподілу.

Площу заштрихованої фігури знайдемо, як різницю половини всієї площі (ця фігура обмежена прямими y₁=5,40 і = 8,02) та площі фігури під кривою розподілу, що обмежена прямими y₂=6,25 і
= 8,02.

Визначимо z₁ та z₂:

Беручи до уваги те, що функція Лапласа є непарна (Ф(-z) = -Ф(z)), за допомогою таблиць (додаток 3) отримаємо: Ф(z₁)=Ф(-2,24)=-0,487 та
Ф(z₂)=Ф(-1,51)=-0,434.

Тоді площу заштрихованої фігури знайдемо з виразу:

S_ф = Ф(z₂) - Ф(z₁) = -0,434 + 0,487 = 0,053

Отже, частка бракованих виробів для даного випадку становить 5,3 % від всієї партії деталей.

4.4. Завдання для самостійної роботи до розділу 4

Побудувати гістограму розподілу випадкової величини, вибравши завдання згідно з варіантом з табл. 2.6.

Питання для самоконтролю до розділу 4

1. Проаналізуйте методику побудови таблиці частот.

2. Проаналізуйте методику побудови гістограм.

3. Які завдання вирішує побудова гістограми?

4. Проаналізуйте типи гістограм.

5. Знайдіть відповідність між типом гістограми та законом розподілу випадкової величини.

6. Проаналізуйте різні варіанти співставлення інтервалу розсіювання та існуючого поля допуску.

7. Проаналізуйте способи зменшення частки бракованих деталей шляхом переналагодження верстату.

8. Як визначається частка бракованих деталей?

9. Поясніть сутність поняття «нормована функція Лапласа».

10. Чи зміняться частки виправного і невиправного браку у випадках розгляду розсіювання отвору і валу.

11. Чи у дослідника є можливість переміщувати середину поля допуску?

12. Проаналізуйте методику побудови гістограм за допомогою програми електронних таблиць Excel з пакету Microsoft Office.