Основные определения и факты теории проверки статистических гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распре-деления или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу Н 0.

Конкурирующий (альтернативной) называют гипотезу Н 1, которая противоречит нулевой гипотезе. В итоге проверки гипотезы могут быть совершены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза. Вероятность ошибки первого рода называют уровнем значимо-сти и обозначают через α.

Ошибка второго рода состоит в том, что будет принята неправиль-ная гипотеза. Вероятность ошибки второго рода обозначают через . Величина 1 –  называется мощностью критерия.

Наблюдаемым (эмпирическим) значением К набл. называют то зна-чение критерия, которое вычислено по выборкам

Критической областью называют совокупность значений крите-рия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений) называют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если на-блюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то нулевую гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическими точками (границами) k кр называют точки, отде-ляющие критическую область от области принятия гипотезы.

Различают одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую неравенством K > k кр, где k кр – положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую не-равенством К < k кр, где k кр – отрицательное число.

Двусторонней называют критическую область, определяемую не-равенствами К < k 1, К > k 2, где k 2 > k 1.

Методы, которые для каждой выборки формально точно определя-ют, удовлетворяют выборочные данные нулевой гипотезе или нет, на-зываются критериями значимости.

22. Основные законы распределения СВ: нормальный, Стьюдента, хи-квадрат, Фишера.

1. Распределением χ2 (хи-квадрат) с k степенями свободы на­зывается распределение суммы квадратов k независимых случайных величин, распределенных по стандартному нормальному закону, т.е.
где Zi (i = 1, 2,..., k) имеет нормальное распределение N(0;1).
Отметим, что число степеней свободы (в дальнейшем это число будем символически обозначать буквой k) исследуемой СлучВеличины определяется числом СВ, ее составляющих, уменьшенным на число линейных связей между ними. Например, число степеней свободы СВ, являющейся композицией n случайных величин, которые в свою очередь связаны m линейными уравнениями, оп­ределяется числом k=n–m.
Из определения следует, что распределение χ2 опре­деляется одним параметром — числом степеней свободы k.
График плотности вероятности СВ, имеющей χ2-распреде­ление, лежит только в первой четверти декартовой системы ко­ординат и имеет асимметричный вид с вытянутым правым «хвостом». Однако с увеличением числа степеней свободы рас­пределение χ2 постепенно приближается к нормальному/
Распределение χ2 применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точекχ2 распределения.
M(χ2)=k=n-m
D(χ2)=2k=2(n-m)
2. Распределение Стьюдента называется распределение случайной величины

, где Z — случайная величина, распределенная по стандартному нормальному закону, χ2— независимая от Z случай­ная величина, имеющая χ2-распределение с k степенями свободы.
При k→∞ распределение приближается к нормальному. Практически уже при k>30 можно считать t-распределение приближенно нормальным.
Распределение Стьюдента применяется для нахождения интервальных оценок и проверки статистических гипотез. При этом используется таблица критических точекt-распределения.
M(t)=0
D(t)=n/n-2

Распределением Фишера—Снедекора (или F-распределением) называется распределение случайной величины
, где χ2(k1) и χ2 (k2) — случайные величины, имеющие χ2 Распределение соответственно с k1 и k2 степенями свободы.
Распределение Фишера используется при проверке стати­стических гипотез, в дисперсионном и регрессионном анали­зах. При этом активно используется таблица критических то­чек распределения Стьюдента
M(F)=n/(n-2)*(m-2)
D(F)=(2n2(m+n-2))/m(n-2)2(n-4)(n>4)

РАБОТА С ТАБЛИЦАМИ СТАНДАРТИЗИРОВАННОГО НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
При проведении статистического анализа весьма часто ис пользуется таблица значений функции Лапласа, определяющей вероятность попадания СВ U в интервал [0,u). В левом столбце табл. приведены значения СВ U с точностью до десятых, в верхней строке приведены сотые доли (значения U в данном случае определяются с точностью до со­тых). Значение Ф(U) определяется на пересечении соответствующих данному значению и строки и столбца (в данном случае Ф(Г) дается с точностью до четвертого знака после запятой). Например, Ф(0,17) = 0,0675, т.е. Р(0 < U < 0,17) = 0,0675.

РАБОТА С ТАБЛИЦАМИ t-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ СТЬЮДЕНТА

В табл. 1.2 в первом столбце указаны числа степеней свободы k, в верхней строчке — вероятности (уровни значимости) α. Критическая точка ta,k определяется пересечением столбца с заданной вероятностью α и строки, соответствующей числу степеней свободы k. Например t0,05,10 =1,812. Другими словами, P(t10 > 1,812) = 0,05.

РАБОТА С ТАБЛИЦАМИ хи2-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В табл. в левом столбце приведены различные числа степеней свободы k. В верхней строчке указаны вероятности (уровни значимости) α попадания рассматриваемой величины в «правый хвост» распределения хи2.
Критическая точка хи2 α,k отыскивается на пересечении столбца c заданной вероятностью α и строки, соответствующей числу степеней свободы k. Например, хи2 0,025,10= 20,48. Другими словами P(хи2 10>20,48)=0,025.

Таблицы распределения приводятся для двусторонних критических точек:

хи2 1-α/2,k и хи2 α/2,k

В этом случае предполагается, что вероятности попадания рассматриваемой СВ хи2 в оба «хвоста» распределения одинаковы и равны половине уровня зна­чимостиα.

РАБОТА С ТАБЛИЦАМИ F-РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФИШЕРА
Таблицы критических точек распределения Фишера обычно приводятся для различных значений вероятности (уровня значимости)  попадания в «хвост» распределения.

На пересечении столбца и строки, соответствующих требуемым числам степеней свободы k1=m и k2 =n, находите критическая точка F α,m,n. Например, F 0,05,10,10 = 2,98 (P(F10,10> 2,98) = 0,05).
23.Проверка гипотезы о значении математического ожидания при известной генеральной дисперсии.

* Часто вместо доверительной вероятности g используется величина a = 1 - g, которая называется уровнемзначимости.