Особенности анализа статистического материала

Различают параметрическую и непараметрическую математическую статистики. Параметрическая статистика строится на основании параметров данной совокупности, на­пример, средней арифметической X и среднем квадратическом отклонении а. Непараметрическая - на вариантах и частотах их встречаемости у данной выборки.

Большинство методов математической статистики раз­работаны для нормального закона распределения изучаемых показателей. В случае отклонения от нормального закона, при­менение обычных методов приводит к грубым ошибкам и вы­водам. Поэтому при наличии, в частности, асимметрии в рас­пределении признака выполняют математическое преобразо­вание исходных данных (например, возведение в какую-либо степень), с последующей проверкой полученных данных на нормальность распределения.

Применение методов для проверки статистических ги­потез о достоверности различий между выборочными парамет­рами (X и а) требует предварительной проверки изучаемых признаков на нормальность распределения. Такими методами являются дисперсионный анализ, Т- критерий Стьюдента.

Основные статистические характеристики вычисляются по следующим формулам:

- средняя арифметическая
X=I Vi/n,

где Vi - значение i-ой варианты, п - количество вариант;

- средняя квадратическая
o-²=(I(X-Vi)²)/ (n-1)

Для быстрых предварительных расчетов можно вос­пользоваться другой формулой (Н.А.Толоконцев, 1961):

О» (Vmax - Vmin)/K,

где Vmax - наибольшее значение из вариант, Vmin - наимень­шее значение из вариант, К - коэффициент из таблицы 1.

Таблица 1

Коэффициенты К для вычисления среднего квадратического отклонения по амплитуде вариационного ряда

			1,13	1,69	2,06	2,33	2,53	2,70	2,85	2,97
	3,08	3,17	3,26	3,34	3,41	3,47	3,53	3,59	3,64	3,69
	3,74	3,78	3,82	3,86	3,90	3,93	3,96	4,00	4,03	4,06

ошибка средней арифметический: m = б/V п;

ошибка разности между средними:
tp=(X₁-X₂)/V(m₁²+m₂²)

при числе степеней свободы С=П!+п+2.

Таблица 2

Величина tst при заданной (0.05) вероятности распределения Стьюдента

С												>100
tst	2,2	2,2	2,1	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	2,0	1.9

Высшим достижением эмпирического исследования является установление эмпирического закона, выраженного в аналитическом виде. Первым шагом на пути выявления эмпи­рического закона, суть которого связана с реально су­ществующей причинно-следственной связью, является вычис­ление коэффициента корреляции, а затем факторного и ре­грессионного анализа. Здесь надо заметить, что выборка долж­на формироваться методом расслоенного отбора. В этом слу­чае удается соблюсти следующие условия:

независимые переменные представляют собой неслу­чайный набор чисел;

случайные ошибки имеют нулевую среднюю и конеч­ную дисперсию, подчинены нормальному закону распределе­ния;

между независимыми переменными отсутствуют кор­реляция и автокорреляции.

Для определения независимости признаков полезно использовать факторный анализ, который позволяет снижать размерность описания взаимосвязей между признаками. Столбцы матрицы факторных весов содержат коэффициенты корреляции между фактором и признаком. Эта информация позволяет найти признаки, наиболее тесно связанные с данным фактором, т.е. между собой, а затем для любого из признаков найти независимые переменные для построения линейных уравнений множественной регрессии.

В работе В.М. Зациорского "Кибернетика, математика, спорт" (1970) приведена таблица результатов корреляционного анализа между достижениями в отдельных видах легкоатле­тического десятиборья, представленных в виде набранных оч­ков по отдельным видам многоборья. Эта корреляционная мат­рица была статистически обработана с помощью метода глав­ных факторов по Г.Харману (1972). Решение представлено в табл.3.

Таблица 3 Факторные веса (умножены на 100) по видам десятиборья

Виды десятиборья	Факторы
I	II	III	IV
Бег 100 м			-14	-21
Прыжок в длину
Толкание ядра		-35	-21	-15
Прыжок в высоту			-08	-00
Бег 400 м
Бег 100 м с/б			-23	-14
Метание диска		-32	-00
Прыжок с шестом		-33
Метание копья'		-30		-07
Бег 1500 м				-37
Вклад в общую дисперсию

Как интерпретировать результат факторного анализа?

Выборка из 54 спортсменов была сформирована из участников Олимпийских игр 1952, 1956, 1960 гг. От олимпиа­ды к олимпиаде подготовленность многоборцев растет, поэтому выборку можно рассматривать как совокупность атлетов с примерно равной технической, но разным уровнем физической подготовленности. Все квалифицированные десятиборцы имеют схожее телосложение, которое характеризуется длиной тела выше среднего 180-190, длинными ногами, узким тазом, широ­кими плечами, равномерной гипертрофией мьшщ на верхних и нижних конечностях. Мышцы должны быть с преимуществен­ным содержанием быстрых мышечных волокон. Мышечная композиция наследуется, следовательно, уровень физической подготовленности десятиборцев определяется, прежде всего, силой (количеством миофибрилл в мышечных волокнах) мышц ног, рук, туловища, мышечной выносливостью (отношением массы митохондрий к массе миофибрилл в мышцах), размером сердца.

Эти теоретические умозаключения можно подтвердить в ходе анализа результатов факторного анализа (табл. 1). На­пример, высокие коэффициенты корреляции первого фактора с результатами в отдельных видах многоборья свидетельству­ют о том, что с ростом квалификации атлета увеличивается сила всех основных мышц. Исключение составляет результат в беге на 1500 м, который обусловлен другим фактором (в таб­лице - это 3-й фактор).

После устранения влияния первого фактора из общей дисперсии выборки выявляется второй фактор. Он имеет наи­высшие положительные коэффициенты корреляции (факторные нагрузки) с бегом на 400 м (48), 100 м (32) и 1500 м (19), отрицательно коррелирует с толканием ядра (-35), ме­танием диска (-32), метанием копья (30) и прыжком с шестом (-33); следовательно, локальная силовая выносливость мышц ног (относительно тяжелые ноги) способствует достижению высоких результатов во всех беговых дисциплинах, а избыточ­ная масса мышц нижних конечностей отрицательно связана с результатами в метаниях. Следует напомнить, что положи­тельный вклад силы мышц верхних и нижних конечностей уже был учтен в первом факторе.

Устранение влияния второго фактора на общую дис­персию выборки позволило выявить третий - аэробная подго­товленность (видимо, уровень потребления кислорода на ана­эробном пороге). Это умозаключение следует из наличия наи­высшего коэффициента корреляции третьего фактора с набранными очками в беге на 1500 м (36). Третий фактор поло­жительно коррелирует еще с результатом на 400 м (24).

После устранения влияния на общую дисперсию трех факторов, в оставшейся дисперсии основную долю составила дисперсия, приходящаяся на результат на 1500 м (-37), 400 м (29). Очевидно, что этот фактор связан с массой мышц верхне­го плечевого пояса. Интенсивная работа массивных рук в беге на 400 м способствует увеличению амплитуды изменения вы­соты общего центра массы тела, а, значит, длины шага. Мас­сивные руки в беге на 1500 м являются лишним грузом, интен­сивная их работа приведет к увеличению потребления кисло­рода, которого, как правило, не хватает для мышц ног.

Таким образом, по результатам факторного анализа можно предложить построить уравнение множественной ре­грессии для предсказания суммы очков:

Y= аО + al*Xl + а2 *Х2 + аЗ*ХЗ,

где XI - толкание ядра, Х2 - бег на 400 м, ХЗ - время бега на 1500 м.

С помощью такого уравнения можно предсказывать результат в сумме многоборья для спортсменов, относящихся к данной генеральной совокупности, т.е. для действующих деся­тиборцев высшей квалификации 1952-1960 гг. Применять такое уравнение для нашего времени уже нельзя, поскольку поменя­лись правила начисления очков за результаты в отдельных видах. Требуется повторить исследование.

Следует сделать еще одно замечание: интерпретация результатов факторного анализа может корректно выполнять­ся только на основе моделирования объектов - десятиборцев (в нашем случае - мысленного имитационного моделирования). Результат моделирования является лишь рабочей гипотезой, которую еще необходимо доказать прямыми исследованиями. Например, методами биомеханики можно доказать предполо­жение о важности интенсивной работы рук в беге на 400 м, а методами биоэнергетики - отрицательное влияние работы мышц рук на скорость бега. В случае использования прими­тивных моделей, интерпретация факторных решений приводит к порождению новых терминов, не имеющих глубокого обосно­вания, засоряющих науку.