Методы оценки дисперсии прогноза при детерминированном прогнозном фоне

Рассмотрим, не прибегая к излишней математической строгости, сначала общий подход к оценке дисперсии прогноза . Без ограничения общности предположим, что прогнозы получены с использованием линейной эконометрической модели, ошибка которой характеризуется отсутствием автокорреляционных связей.

В соответствии с процедурой разработки эконометрического прогноза, рассматриваемое прогнозное значение зависимой переменной у, например, в момент времени Т +1, можно представить как случайную величину, определяемую по линейной модели типа (1.2) с учетом того факта, что ее параметры являются случайными величинами, а значения независимых факторов х_{i , T +1}, i =1,2,..., n; – детерминированные величины:

где a_i, i =0,1,..., n – коэффициенты эконометрической модели, рассматриваемые как случайные величины; e_{T +1} – случайная ошибка модели в момент Т +1. Представим коэффициенты модели a_i в виде суммы их соответствующих оценок, являющихся математическими ожиданиями, и ошибок

где математическое ожидание а_i определено согласно используемому методу, например, МНК (см. выражение (2.8)), а характеристики ошибок D а_i определены как элементы вектора D а =(X ¢ X)^-1 X ¢× e (см. выражение (2.9)).

Подставим выражение (12.9) в (12.8). В результате получим

где показатель

представляет собой математическое ожидание прогноза, а показатель

характеризует ошибку прогноза.

Ее дисперсия может быть определена согласно классическому выражению в предположении о независимости ошибки модели e_{T +1} и ошибок коэффициентов модели D а_i, i =0,1,..., n; следующим образом:

где s_e ² – оценка дисперсии ошибки модели – дисперсия оценки а_i, а cov(а_i, а_j) – ковариация оценок параметров а_i и а_j. Их значения определены как элементы ковариационной матрицы s_e ²×(Х ¢× Х)^–1; х _{0, T +1} º1 (см. выражение (2.18)).

Еще раз отметим, что выражение (12.13) получено в предположении о независимости ошибки модели e_{T +1} в момент Т +1 и ошибок коэффициентов D а_i, которые согласно выражению (2.9) являются линейными функциями выборочных ошибок модели e_t, t =1, 2,..., Т.

Выражение (12.13) может быть представлено в матричной форме записи следующим образом:

где х _{T +1}¢=(1, х _{1, T +1},..., х_{n , T +1}) – вектор-строка детерминированных уровней прогнозного фона, представляющего собой набор значений независимых факторов в моменты Т +1.

Приведем также несколько более строгое доказательство выражения (12.14). Для этого запишем расчетное значение прогноза в векторной форме:

Аналогично представим истинное значение прогноза у_{T +1}

где a – вектор-столбец значений параметров модели; e_{T +1} – значение ошибки истинного прогноза.

С учетом представленных выражений ошибку прогноза согласно (12.6) выразим в следующем виде:

D у_{T +1}= у_{T +1}– = e_{T +1}+ х _{T +1}¢× a – х _{T +1}¢× a =

= e_{T +1}+ х _{T +1}¢× a – х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× y. (12.17)

Подставляя в (12.17) вместо вектора наблюдаемых значений зависимой переменной y его выражение y = X × a + e, получим

D у_{Т +1}= e_{T +1}+ х _{T +1}¢× a – х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢×(X × a + e)=

= e_{T +1}+ х _{T +1}¢× a – х _{T +1}¢× a – х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× e =

= e_{T +1}– х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× e. (12.18)

С учетом (12.18) дисперсия ошибки прогноза определяется следующим выражением:

s ²( )= M [D y ² _{T +1}] = M [ e ² _{T +1}]–2× х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× M [ e_{T +1}× e ]+

+ х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× M [ e × e ¢]× X ×(X ¢× X)^–1× х _{T +1}. (12.19)

При справедливости предположений о независимости ошибки e_{T +1} и вектора ошибок модели e, гомоскедастичности и отсутствии автокорреляционных связей у вектора ошибки модели e имеем

M [ e_{T +1}× e ]=0;

M [ e × e ¢]= s_e ²× E.

В этом случае с учетом того, что M [ e ² _{T +1}]= s_e ² легко показать, что выражение (12.19) преобразуется в выражение (12.14), с учетом замены s_e ² на s_e ².

Заметим, что выражение (12.19) определяет все случаи, отражающие возможные свойства ошибки эконометрической модели. В частности, когда у этой ошибки имеются автокорреляционные связи, например, первого порядка, т. е. e_t = r×e_{t– 1} + v_t, v_t ~ N (0, s_v ²), Cov(v)= s_v ² × E выражение (12.19) приобретает следующий вид:

s ²( )= s_e ²–2× s_e ²× х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× R +

+ х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× Cov(e)× X ×(X ¢× X)^–1× х _{T +1}, (12.20)

где вектор-столбец R =[ r, r ², r ³,..., r^{T +1}]¢;

где r – коэффициент автокорреляции первого порядка.

Заметим также, что для такой модели математическое ожидание прогноза = M [ y_{T +1}] имеет следующий вид:

M [ y_{T +1}]= M [ х _{T +1}¢× a + e_{T +1}]= M [ х _{T +1}¢× a + r×e_T + v_T ]= х _{T +1}¢× a + r×e_T. (12.21)

Выражая ошибку модели в момент Т e_T через ее оценку е_T

e_T = е_T – х _T ¢× а (12.22)

и подставляя выражение (12.22) в (12.21), с учетом замены коэффициента r на его выборочное значение r и вектора a на вектор a на практике получим

= r× y_T +(х _{T +1}¢– х _T ¢)× a. (12.23)

Несложно показать, что в этом случае расчетное значение прогноза в момент Т + k будет определяться следующим выражением:

= х _{T + k} ¢× a + r^k×e_T. (12.24)

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности выражение (12.19) приобретает следующий вид:

s ²( )= s_e ²+ х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢×Cov(e)× X ×(X ¢× X)^–1× х _{T +1}, (12.25)

где

а s_t ² – дисперсия ошибки модели в момент t.