Методы оценки дисперсии прогноза при случайном прогнозном фоне

При случайном прогнозном фоне обычно предполагается, что значения независимых факторов в будущие моменты времени T + k являются случайными величинами, которые можно представить в виде суммы их математических ожиданий и случайных ошибок

При этом дисперсии и ковариации ошибок D х_{i , T +1}, D х_{j , T +1}, в общем случае предполагаются известными, и математические ожидания ошибок M [D х_{i , T +1}]=0; i, j =1,..., n; s ²(х ₀)= M [D х ₀]=0 в силу тождества х ₀º1.

Тогда, например, для момента Т +1 истинное значение прогноза определяется следующим выражением:

Далее обычно выдвигается вполне реалистическое предположение о независимости ошибок оценок параметров модели D а_i и соответствующего прогнозного фона D х_{i , T +1}. Их независимость, в частности, является следствием того, что параметры модели и прогнозный фон обычно определяются в ходе разных, не связанных между собой исследований.

После раскрытия скобок в выражении (12.27) несложно заметить, что расчетное прогнозное значение (математическое ожидание процесса) определяется выражением (12.11), а его ошибка D у_{T +1} – выражением следующего вида:

где х _{0, T +1}º1, D х _{0, T +1}º0.

Дисперсия такой ошибки определяется на основании известного выражения s ²(D у_{T +1})= M [D у_{T +1}]² с учетом некоторых дополнительных предположений, касающихся свойств ошибки модели. В случае ее гомоскедастичности и отсутствия автокорреляционных связей, т. е. при s_e ²=const, Сov(e)= s_e ²× E, имеет место и независимость ошибок коэффициентов модели D а_i и ошибки e_{T +1}. Независимость ошибки прогнозного фона и ошибки e_{T +1} практически очевидна.

В этом случае, возводя в квадрат правую часть выражения (12.28) и беря математическое ожидание от полученного выражения после несложных вычислений, получим

где cov(х_{i , T +1}, х_{j , T +1}) – ковариация случайных i -го и j -го значений прогнозного фона; при i = j, cov(a_i, a_j)= s ²(a_{i ,}); cov(х_{i , T +1}, х_{j , T +1})= s ²(х_{i , T +1}); cov(a_i, a_j)=cov(a_j, a_i) и cov(х_{i , T +1}, х_{j , T +1})=cov(х_{j , T +1}, х_{i , T +1}); х _{0, T +1}=0; s ²(х _{0, T +1})=0; cov(х_{i 0, T +1}, х_{j , T +1})=0, j =1,..., n.

При выводе выражения (12.29) также учтено, что математические ожидания сомножителей типа D а_i ×D х_{i , T +1}×D х_{j , T +1}×D a_j, D х_{i , T +1}×D а_i ×D a_j ×D х_{j , T +1},D а_i ×D х_{j , T +1}×D a_j ×D х_{i , T +1} равны нулю в силу введенных предположений о равенстве нулю математических ожиданий рассматриваемых ошибок и независимости ошибок D а_i, D х_{j , T +1}, j =1,..., n.

Для получения выражения, определяющего дисперсию прогноза при случайном прогнозном фоне и свойствах ошибки модели, отличных от белого шума, представим выражение (12.28) в векторной форме записи:

D у_{T +1}= х _{T +1}¢×D a +D х _{T +1}¢× a +D х _{T +1}¢×D a + e_{T +1}. (12.30)

Далее, как и в разделе 12.2, выразим векторы оценок коэффициентов модели и их ошибки в векторно-матричной форме записи a =(X ¢× X)^–1× X ¢× y, D a =(X ¢× X)^–1× X ¢× e, где e – вектор истинной ошибки модели, X – матрица наблюдаемых значений независимых факторов, y – вектор наблюдаемых значений зависимой переменной на интервале (1, Т). Получим

D у_{T +1}= х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× e +D х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× y +

+D х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× e + e_{T +1}. (12.31)

Дисперсию ошибки прогноза с учетом оговоренных выше предположений о независимости и свойствах ошибок D а_i, D х_{j , T +1}, i, j =0,..., n;определим как математическое ожидание от квадрата этой ошибки

s ²( )= M [D y_{T +1}] ²= х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× M [ e × e ¢]× X ×(X ¢× X)^–1× х _{T +1}+

+ у ¢× X ×(X ¢× X)^–1× M [D х _{T +1}, D х ¢ _{T +1}] ×(X ¢× X)^–1× X ¢× y + M [ e ² _{T +1}]+

+ M [D х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× M [ e × e ¢]× X ×(X ¢× X)^–1×D х _{T +1}]+

+ х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× M [ e_{T +1}× e ]. (12.32)

В предположении, что M [ e × e ¢]= s_e ²× E и независимости ошибок e_{T +1} и e_t, t =1,..., Т имеем

1) M [D х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1× X ¢× M [ e × e ¢]× X ×(X ¢× X)^–1×D х _{T +1}]=

= s_e ²× M [D х _{T +1}¢×(X ¢× X)^–1×D х _{T +1}]=

2) M [ e_{T +1}× e ]=0.

В этом случае несложно показать, что выражение (12.32) приобретает следующий вид:

s ²( )= х _{T +1}¢×Сov(a)× х _{T +1}+ a ¢×Cov(D х)× a +

M [D х _{T +1}¢×Сov(a)× D х _{T +1}]+ s_e ², (12.33)

где Cov(D х) – ковариационная матрица вектора ошибок прогнозного фона;

M [D х _{T +1}¢×Сov(a)× D х _{T +1}]=

Несложно заметить, что выражения (12.29) и (12.33) эквивалентны.

При наличии у ошибки модели только свойства гетероскедастичности последнее слагаемое в правой части выражения (12.32) обращается в нуль, а ковариационная матрица ошибки имеет следующий вид:

При наличии автокорреляционных связей у ошибки модели вектор M [ e_{T +1}× e ] имеет специфический вид, определяемый характером этих связей.