Качественные характеристики оценок параметров нелинейных эконометрических моделей

Помимо определения точечных значений оценок параметров нелинейных эконометрических моделей в эконометрических исследованиях большое внимание уделяется и поиску их интервальных характеристик, по величине которых можно судить о качестве построенного варианта эконометрической модели. Напомним, что совокупность интервальных характеристик параметров линейных эконометрических моделей можно определить на основе элементов ковариационной матрицы их оценок, определенных для независимых и гомоскедастичных ошибок выражением (2.18)

Cov(a)= s_e ² × (X ¢ × X)^–1,

где Х – матрица значений независимых параметров.

Для нелинейной эконометрической модели в аналитическом виде получить аналог выражению (2.18) не представляется возможным. Однако можно определить некоторое приближение ковариационной матрицы оптимальных оценок параметров модели в области минимума суммы квадратов ошибки. Для этого разложим нелинейный функционал модели в окрестности точки оптимума параметров a _* в ряд Тейлора. В результате в соответствии с выражениями (11.19)–(11.23) получим

где f _* – вектор расчетных значений функционала f (a, х) в точке параметров a _*, принадлежащей окрестности оптимума; Х _* – матрица производных ¶ f_t /¶ a_i, определенная согласно выражению (11.21) в точке a _*, h – ошибка разложения.

Перепишем выражение (11.34) в следующем виде:

g =

где вектор g определяется согласно выражению:

g = у – f _*(a, х ₎+

Несложно заметить, что все компоненты вектора g в точке a _* известны. Из этого вытекает, что в окрестности оптимума нелинейная эконометрическая модель может быть представлена в линейной форме записи (11.35).

В соответствии с этим, согласно выражению (2.18), ковариационная матрица оптимальных оценок параметров модели a может быть представлена в следующем приближенном виде:

Cov(a)= s_h ² ×

Приближенный характер матрицы Cov(a) обусловлен использованием аппроксимирующего приближения Тейлора для нелинейной модели и соответствующей ему точки a _* из окрестности оптимума (а также матрицы ). В этом случае, также как и в случае выражения (2.34), можно показать, что найденные оценки a при Т ®¥ являются приблизительно состоятельными, а их распределение является асимптотически нормальным

(a,

где

Вопросы к главе XI

1. Каковы причины нелинеаризуемости моделей?

2. По каким признакам классифицируются методы оценки параметров нелинейных моделей?

3. Охарактеризуйте методы с производными и методы без производных?

4. Опишите процедуру прямого поиска.

5. В чем состоит суть методов Гаусса?

6. Опишите градиентные методы оценки параметров нелинейной модели и особенности представления целевой функции.