Примеры доверительных интервалов

Если генеральная совокупность распределена по нормальному закону m неизвестно, а известно, то с вероятностью где квантиль уровня распределения , , n-объём выборки. Половину длины доверительного интервала в математической статистике называют точностью оценки. Для этого примера точность оценки равна

Если генеральная совокупность m и неизвестны, то с вероятностью

, , ,

где , – квантиль распределения Стьюдента (Пирсона) с степенью свободы уровня , – объем выборки. Здесь точность оценки .

Пусть производится серия из независимых испытаний, в каждом из которых событие может произойти с неизвестной вероятностью . В качестве точечной оценки вероятности возьмем частоту , где – объем выборки, а – количество испытаний, в которых событие произошло .

Тогда, если , , , то с вероятностью , где .

Или более точно

.

Здесь точность оценки .

Пример. Найти минимальный объём выборки, при котором с надежностью 0,94 точность оценки математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности (по выборочному среднему ) равна если известно среднее квадратическое отклонение генеральной совокупности

Решение. Для этого примера точность оценки равна

Найдем квантиль По условию Отсюда Подставляя полученные данные в формулу для точности оценки, получим

Полагаем

Замечание. При решении задач 92-110 рекомендуем для вычисления квантилей пользоваться их свойствами, приведёнными в п.12.