Экстремальных экспериментов

Решение экстремальных задач физической химии и химической технологии (например, определение оптимальных условий проведения опыта и протекания процесса, оптимального состава материалов) возможно на основе математической модели объекта — функции отклика, связывающей выходной параметр, характеризующий результаты эксперимента, с переменными, определяющими условия проведения опыта (факторами):

y = j (x ₁, x ₂,…, x_k). (10.6)

На основе теоретического анализа физико-химических процессов при наличии достаточной информации об их механизмах можно составить детерминированную математическую модель объекта. Однако при проведении большинства исследований механизмы процессов, протекающих в изучаемых объектах, остаются неизвестными, поэтому для решения задач оптимизации необходимо использовать методы математической статистики.

При статистическом подходе математическая модель объекта или процесса представляется в виде полинома, т.е. отрезка ряда Тейлора, в который разлагается неизвестная функция (10.6):

, (10.7)

где

. (10.8)

Из-за воздействия случайных факторов на результаты опыта при обработке и анализе экспериментальных данных для полиномиальной модели (10.7) находят выборочные коэффициенты регрессии b ₀, b_j, b_uj, b_jj, b_uij, которые являются оценками соответствующих теоретических коэффициентов. Уравнение регрессии записывается в виде

, (10.9)

где b ₀ — свободный член; b_j — линейные эффекты; b_uj — эффекты парного взаимодействия; b_jj — квадратичные эффекты; b_uij — эффекты тройного взаимодействия.

В зависимости от целей исследования и имеющейся информации можно ограничиться расчетом только части коэффициентов, пренебрегая влиянием остальных эффектов (например, в условиях линейной модели значимыми считаются только линейные эффекты, квадратичной модели — линейные и квадратичные эффекты, при этом в обоих случаях принимается, что эффекты взаимодействия факторов пренебрежимо малы).

Следует отметить, что на основании оценок теоретических коэффициентов нельзя определить аналитическое выражение функции отклика и, следовательно, получить информацию о механизме процесса. Полиномиальные модели используются только для решения задач оптимизации и управления процессами.

Под планированием эксперимента понимают оптимальное (наиболее эффективное) управление ходом эксперимента с целью получения максимально возможной информации на основе минимально допустимого количества опытных данных. Весь эксперимент обычно разбивается на несколько этапов. Информация, полученная после каждого этапа, используется для планирования исследований на следующем этапе. Планирование эксперимента позволяет варьировать все факторы и получать одновременно количественные оценки всех эффектов, и при этом, в отличие от классического регрессионного анализа, избежать корреляции между коэффициентами уравнения регрессии.

10.3. Полный факторный эксперимент типа 2²: матрица

планирования, вычисление коэффициентов уравнения регрессии

При полном факторном эксперименте (ПФЭ) число опытов равно числу всех возможных комбинаций уровней факторов и при одинаковом числе уровней для каждого фактора определяется формулой

, (10.10)

где n — число уровней, k — число факторов (j = 1, 2, …, k). ПФЭ 2 ^k называется такое проведение опытов, при котором каждый из k факторов рассматривается только на двух уровнях. При этом уровни факторов представляют собой границы варьирования данного параметра.

Допустим, что изучается влияние на выход продукта (y) двух параметров (факторов): температуры (z ₁) в интервале 50–100 ^оС и давления (z ₂) в диапазоне 1–2 атм. При реализации ПФЭ требуется выполнить N = 2² = 4 опыта. Произведем кодирование факторов (замену переменных):

, (10.11)

где

, , (10.12)

и — верхняя и нижняя границы варьирования j -фактора. Точка называется центром плана, или основным уровнем; величины и — интервалами варьирования по осям z ₁ и z ₂.

Как следует из уравнений (10.11) и (10.12), для переменных х ₁ и х ₂ нижний уровень равен –1, верхний — +1, координаты центра плана равны нулю. В табл. 8 представлен план ПФЭ 2², который в безразмерном масштабе может быть интерпретирован в виде четырех вершин квадрата (рис. 1).

Таблица 8

Полный факторный эксперимент 2²

№ опыта	Факторы в натуральном масштабе	Факторы в безразмерном масштабе	Выход продукта, y
z 1 (oC)	z 2 (атм)	x 1	x 2
			–1	–1	y 1
			–1	+1	y 2
			+1	–1	y 3
			+1	+1	y 4

Рис. 1. Полный факторный эксперимент 2²

Вычислим коэффициенты линейного уравнения регрессии

. (10.13)

Для нахождения b ₀ в план ПФЭ надо ввести столбец фиктивной переменной х ₀ = 1; соответствующая матрица планирования представлена в табл. 9. В математической статистике доказывается, что при планировании эксперимента по предложенной схеме и нахождении коэффициентов уравнения регрессии по методу наименьших квадратов любой коэффициент определяется скалярным произведением столбца y на соответствующий столбец факторов х_j в безразмерном масштабе (табл. 9), деленным на число опытов в матрице планирования:

. (10.14)

Таблица 9

Матрица планирования ПФЭ типа 2²