Дисперсионный анализ, его задачи. Проведение однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа

9.1. Задачи дисперсионного анализа.

Однофакторный дисперсионный анализ

Средние значения измеряемых величин зависят от комплекса основных факторов (качественных и количественных), определяющих условия проведения опыта, и случайных факторов. Задачей дисперсионного анализа и является изучение влияния тех или иных факторов на изменчивость средних. В зависимости от числа источников дисперсии (числа рассматриваемых факторов) различают однофакторный и многофакторный дисперсионный анализ. Многофакторный дисперсионный анализ более эффективен по сравнению с классическим методом исследования, при котором изменяется только один фактор при постоянстве всех остальных, что не позволяет определить влияние взаимодействия различных факторов на результаты эксперимента.

При дисперсионном анализе каждое наблюдение используется для одновременной оценки всех факторов и их взаимодействий. Суть дисперсионного анализа заключается в выделении и оценке отдельных факторов, влияющих на значения среднего. При этом суммарная выборочная дисперсия разлагается на составляющие, обусловленные действием независимых факторов. Влияние данного фактора признается значимым, если соответствующая ему выборочная дисперсия значимо отличается от дисперсии воспроизводимости, обусловленной случайными ошибками. Проверка значимости оценок дисперсий проводится по критерию Фишера.

В дальнейшем примем, что:

1) случайные ошибки нормально распределены;

2) эксперименты равноточны;

3) изучаемые факторы влияют только на изменчивость средних, но не на дисперсию наблюдений (она постоянна).

При дисперсионном анализе рассматриваются факторы двух видов: со случайными уровнями и с фиксированными. В первом случае выбор уровней фактора производится из бесконечной совокупности возможных значений. Если все уровни выбираются случайным образом, то математическая модель объекта называется моделью со случайными уровнями факторов. Если же каждый фактор может принимать только некоторые из фиксированных значений, то говорят о модели с фиксированными уровнями факторов. В случае модели смешанного типа одна группа факторов рассматривается на случайных уровнях, а другая — на фиксированных.

Рассмотрим влияние на результаты опытов единичного фактора А, принимающего k различных значений (фактор А имеет k фиксированных уровней a_i, i = 1, 2, …, k). Обозначим через y_ij результат j -опыта в серии из n_i числа измерений ( j = 1, 2, …, n_i), выполненных на i -уровне фактора А (табл. 2).

Таблица 2