Теплопроводность

Макроскопическое уравнение теплопроводности дано вторым в уравнениях переноса (6.92). Необходимый для вывода коэффициента теплопроводности рисунок (рис.6.18) аналогичен предыдущим, и так же, как при диффузии, на нём показано изменение величины, характеризующей неоднородность, имеющую место в этом случае: температура газа в направлении оси x уменьшается. Пусть снова, как и в прежних явлениях переноса, через T ₁ и T ₂ будут обозначены точки, находящиеся по оси вправо и влево от площадки D S на расстоянии l от нее. Тогда вправо через D S будут перелетать молекулы, сохранившие из-за отсутствия столкновений свою кинетическую энергию ikT ₁/2, а в противоположном направлении перелетят молекулы с энергией ikT ₂/2. Очевидно, перешедшая через площадку теплота D Q будет равна разности суммарных энергий, перенесенных молекулами в противоположных направлениях:

.

(6.114)

Число молекул N ₁, перелетевших за D t секунд площадку D S в положительном направлении оси, казалось бы, должно отличаться от числа молекул N ₂, перелетевших в обратном направлении:

; .

(6.115)

Но скорости теплового движения u ₁ и u ₂ находятся по основному уравнению:

; ,

(6.116)

то есть по сравнению с температурами их различия будут иметь второй порядок малости. Поэтому можно считать, что u ₁» u ₂ = u. Тогда

,

(6.117)

и, поскольку (см. предыдущий параграф)

,

(6.118)

то окончательно получим:

.

(6.119)

Сравнивая полученное уравнение с макроуравнением (6.92.2), найдем коэффициент теплопроводности:

.

(6.120)

Как и в двух предыдущих случаях, коэффициент оказался зависящим от скорости хаотичного движения, то есть от температуры и массы одной молекулы. Зависимость от температуры для всех трёх явлений одинакова: повышение её увеличивает коэффициенты переноса, то есть делает процесс переноса более интенсивным, что представляется вполне логичным, поскольку сами явления переноса обусловлены хаотичным движением.

Помимо температуры существенное влияние на теплопроводность должна оказывать масса молекулы, которая также определяет скорость хаотичного движения. Газ, молекулы которого имеют большую массу m ₀, будет обладать малой теплопроводностью, и наоборот. Эта зависимость позволяет подобрать соответствующую среду. Так, самой эффективной охлаждающей газовой средой является водород.

В коэффициент теплопроводности входит произведение l на n. Эти две величины следует рассматривать именно вместе, поскольку длина свободного пробега обратно пропорциональна концентрации. Очевидно, что в их произведении концентрация сокращается, то есть коэффициент теплопроводности оказывается независящим от нее. Однако, это имеет место лишь до определенного предела.

При достаточно малых концентрациях длина свободного пробега возрастает настолько, что молекулы летят от одной стенки сосуда до другой, не испытывая столкновений. Естественно, в сосудах разных размеров это наступает при разных концентрациях. Как только будет достигнута эта предельная концентрация, длина свободного пробега остается постоянной и не зависит от ее дальнейшего положения: она теперь определяется только расстоянием между стенками сосуда: l = d.

При постоянстве l уменьшение концентрации однозначно уменьшает коэффициент теплопроводности, а этого и следует добиваться в термостатах – сосудах, в которых длительное время сохраняется постоянная температура. Такие сосуды носят название сосудов Дьюара, а в жизни получили название термосов. Стенки у них двойные и между ними воздух откачан до той концентрации, чтобы длина свободного пробега (6.97) была больше расстояния между стенками. Замерив (в разбитом!) термосе это расстояние d, вы без труда оцените концентрацию молекул воздуха между стенками, а по ней и давление (6.21).