Больцмановское распределение молекул по энергиям

Рассмотрим теперь случай, когда молекулы, помимо кинетической энергии, имеют еще и потенциальную. Речь здесь пойдет не о потенциальной энергии взаимодействия молекул между собой, но о потенциальной энергии молекул, находящихся в поле каких-либо внешних по отношению к ним сил. Таким полем будет являться, например, электростатическое поле ионов кристаллической решетки, действующее на движущиеся в нем электроны – "молекулы" электронного газа.

Земное тяготение тоже влияет на каждую молекулу атмосферы, создавая потенциальную энергию каждой молекулы: e _p = m ₀ gh. Казалось бы, что в результате земного притяжения все молекулы должны были бы осесть на поверхности Земли, то есть занять положение, где их потенциальная энергия минимальна. Но этого не происходит. Тепловое движение своими ударами разбрасывает молекулы, заставляя их подняться на высоту h. В результате атмосфера имеет определённую толщину.

Концентрация молекул по мере удаления от Земли постепенно уменьшается. Закон её изменения представляет интерес сам по себе: ведь с концентрацией связано давление (см. выражение(6.21)). Кроме того, полученный закон можно обобщить на случай действия электростатических полей, где его справедливость не так просто проверить, как в случае атмосферного давления.

Для того, чтобы найти закон изменения концентрации молекул с высотой, представим себе столб атмосферного воздуха с площадью основания S. Пусть концентрация молекул на высоте h, в слое толщиной dh будет равна n. Она, по определению, равна отношению числа dN молекул в этом слое к его объему dV = Sdh:

(6.85)

Отношение числа dN молекул в слое к общему числу молекул в столбе даст вероятность встретить молекулу в слое толщиной dh:

.

(6.86)

Функция распределения молекул по высоте должна быть аналогична функции распределения молекул по проекциям скоростей, поскольку случайная величина h, на которую поднимается молекула, всегда положительна и при h ® ¥ вероятность встретить молекулу, а значит, и функция распределения f(h), должны стремиться к нулю. Сравнивая эти условия с условиями, приведенными в параграфе 6.4 при подборе функции распределения молекул по проекциям скоростей, можно предположить, что функции распределения будут иметь одинаковый вид, поскольку эти условия аналогичны

Если в функцию распределения молекул по проекциям скоростей (6.35) подставить значение параметра a (6.53), получим:

,

(6.87)

то есть в показатель степени входит кинетическая энергия одной молекулы. Случайной величиной остаётся квадрат проекции скорости.

Функция распределения по высоте, имея тот же убывающий с ростом случайной величины вид, должна зависеть не от кинетической энергии, а от потенциальной, так как случайной величиной теперь будет высота h. Примем, что:

,

(6.88)

где B – некоторая постоянная. Тогда концентрация молекул на высоте h

,

(6.89)

где через n ₀ обозначено произведение постоянной B на число молекул, деленное на площадь столба газа. По размерности это концентрация.

Обозначив m ₀ gh через e _p, можем использовать полученное уравнение для любых силовых полей:

,

(6.90)

где e _p – потенциальная энергия одной молекулы в любом силовом поле;

n ₀ – концентрация молекул, имеющих нулевую потенциальную энергию;

n – концентрация молекул, имеющих потенциальную энергию e _p. Чем больше эта энергия, тем концентрация меньше.

Уравнение (6.90) дает возможность получить и зависимость атмосферного давления от высоты h. Для этого следует воспользоваться связью давления с концентрацией. Умножив обе части уравнения на kT, заменим n ₀ kT через p ₀, а nkT через p:

.

(6.91)

Полученное уравнение носит название барометрической формулы.