Преобразования координат

Объяснение опытам Майкельсона дал в 1905 году А. Эйнштейн, сформулировав два постулата. Первый постулат являлся прямым обобщением отрицательного результата опытов Майкельсона. Второй постулат объяснял равенство скоростей света в обоих коленах интерферометра тем, что скорость света не складывается со скоростью движения источника и остается в обоих коленах равной c.

Итак, постулаты Эйнштейна:

1. Никакими опытами, в том числе и оптическими, нельзя обнаружить равномерное и прямолинейное движение системы, находясь внутри этой системы.

2. Скорость света есть величина постоянная, то есть не зависит от скорости движения наблюдателя или источника света.

Строго говоря, выдвинутые Эйнштейном постулаты являются обобщением не только одного опыта Майкельсона и Морли. Вслед за ними были проведены и другие опыты разными исследователями и на иных интерферометрах. Ни разу не удалось определить скорость движения Земли, то есть все опыты свидетельствовали о справедливости постулатов.

Построенная на их основе теория получила название специальной теории относительности, сокращенно СТО. Поскольку она базируется на опытах, проведенных в инерциальной системе, то и вся она имеет место лишь для указанных систем. Непосредственным следствием опытов по определению скорости движения Земли явилось еще и утверждение, что не существует абсолютного пространства, которое связывали с эфиром: опыты не дают возможности обнаружить скорость движения относительно него.

Проанализировав и сопоставив постулаты, Эйнштейн показал, что нет и абсолютного времени, одинакового для всех систем, времени, по которому текут события в абсолютном пространстве. Ниже приводится мысленный опыт, доказывающий, что время зависит от движения системы.

На рис. 5.3 изображены две системы координат. Пусть в момент, когда начала координат совпадали, в одной из систем зажегся свет в точке 0. Он распространяется во все стороны с одинаковой скоростью с, и совокупность точек, до которых одновременно дойдет свет, в трехмерном пространстве образует сферу. Поскольку на рис. 5.3 изображено двумерное пространство, то эта совокупность образует там окружность. Уравнение этой окружности в системе K будет:

,

(5.4)

где R – радиус сферы (окружности); t – время, прошедшее с момента включения источника света.

В движущейся системе координаты будут иными, значит, изменится и правая часть:

.

(5.5)

Уравнения (5.4) и (5.5) выражают требование первого постулата: поскольку системы не различимы, фронт волны в движущейся и покоящейся системах должен быть сферическим, в противном случае по его форме можно определить, движется система или покоится.

Второй постулат утверждает, что скорость света в системе K' должна быть прежней. Следовательно,

,

(5.6)

то есть время в системе K' будет иным, так как радиусы окружностей R и R' не одинаковы.

Вернемся теперь к рис. 5.3, где две системы движутся относительно друг друга со скоростью u. Поскольку, находясь внутри системы, нельзя обнаружить ее движение, наблюдатель в системе K считает, что соседняя система движется со скоростью u, а наблюдатель в системе видит систему K движущейся со скоростью "минус" u. Координаты одного и того же предмета в этих системах будет разными и связаны между собой соотношениями:

; ; .

(5.7)

Первое равенство относится к случаю, когда наблюдатель находится в системе K, а второе – к случаю, когда движение наблюдают из системы K',и оно представляется движением со скоростью – u. Преобразования координат, приведенные выше, называют классическими или преобразованиями Галилея.

Очевидно, если время зависит от движения системы и в каждой системе оно свое, то преобразования координат изменяются, поскольку в первом из них время t следует заменить на время t'. Кроме того, левая часть равенств не будет равна правой: в левой части уравнений стоят длины отрезков в одной системе, а в правой – длины этих же отрезков, но в другой системе координат, движущейся относительно первой. Измерение же длины движущегося предмета связано с временем: действительно, если предмет покоится, то измеряя его длину, отмечаем сначала координату одного конца, а затем второго.

Если же предмет движется, необходимо фиксировать координаты двух концов одновременно, что могут сделать только два человека. Для осуществления одновременности один из них должен подать сигнал второму. Но даже самый быстрый сигнал – свет – требует времени для прохождения расстояния между наблюдателями. Поэтому нет гарантии, что координаты движущегося предмета будут отмечены одновременно, и, следовательно, длина отрезка в той системе, где тело покоится, будет отличаться от длины в той системе, где это тело движется. Следовательно, в уравнения (5.7) следует ввести коэффициент пропорциональности (обозначим его a) между правыми и левыми частями равенств. Тогда соотношения между координатами примут вид:

; .

(5.8)

Эти преобразования координат отличаются от галилеевых и носят название релятивистских преобразований (относительность – релятивизм), либо преобразований Лоренца. Введенный в них параметр a находится просто:

а) перемножим равенства почленно:

;

(5.9)

б) подставим вместо x ® ct, а вместо x' ® ct', что приводит к равенству:

,

(5.10)

которое дает возможность найти a ^2. и затем a. Выражение для коэффициента aобычно записывают так:

.

(5.11)

Анализ последнего результата показывает, что при u << c коэффициент a практически равен единице, то есть правая часть релятивистских преобразований (5.8) становится равной левой части, как это имеет место в галилеевых преобразованиях. Иначе говоря, длины отрезков в двух системах отсчета, движущихся относительно друг друга, не равны лишь при скоростях, близких к скорости света.

5.4. Соотношение времен t и t'

Выразив время t' из первого уравнения системы (5.8) и подставив в него значение x', взятое по второму уравнению этой системы, получим:

.

(5.12)

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю и вынесем за скобки коэффициент a. Тогда

.

(5.13)

Используя (5.11), легко показать, что

,

(5.14)

и время в системе K' выражается через время в системе K следующим соотношением:

.

(5.15)

Если из второго уравнения системы (5.8) выразить t, а затем подставить значение x из первого, получим, что время в системе K выражается через время в системе K' следующим соотношением:

.

(5.16)

Чтобы понять смысл полученных соотношений, следует вернуться к рис.5.3, из которого очевидно, что знак скорости относительного движения систем отсчета зависит от того, из какой системы наблюдается это движение. В последних уравнениях положительному знаку скорости соответствует случай, когда наблюдатель находиться в системе K', а не K, как прежде. Это произошло потому, что скорость введена уравнением (5.14), изменившим знак скорости на противоположный.

Оба последних уравнения утверждают, что в той системе, где находится наблюдатель, время в любой точке системы одинаково, не зависит от координаты, что мы обычно и наблюдаем на опыте. Но если система движется относительно наблюдателя со скоростью, близкой к скорости света, то ему будет казаться, что время в "чужой" системе разное в разных точках, то есть зависит от координаты системы. Речь идет о времени t' в уравнении (5.15) и времени t в уравнении (5.16). Точки зрения двух наблюдателей, находящихся в разных системах, оказываются противоположными. Коротко это можно выразить так: в "моей" системе время одинаково в каждой точке, в "вашей" же – зависит от координаты точки, и поэтому в каждой точке оно разное.

Намного проще и существенно более важно для практики связать не времена, а длительности событий или интервалы времени: Dt = t₂ – t₁. Для этого следует лишь задать приращение временам t и t' в уравнениях (5.15) и (5.16) при постоянных координатах x и x'. Для малых интервалов Dt ® dt получим:

;	(5.17)
.	(5.18)

В первом случае Dt >Dt', во втором – наоборот. Но противоречия в этих выводах нет. Действительно, в (5.17), как и в исходном уравнении (5.15), наблюдатель находится в системе K, и событие происходит там же. Во втором случае событие происходит в системе K' и время его Dt' < Dt. Обобщается все сказанное так: интервал времени минимален в той системе, где происходит событие. Соотношения (5.17) и (5.18) были первыми соотношениями теории относительности, проверенными на опыте.

Среди элементарных частиц имеются так называемые m -мезоны или, по-современному, мюоны. Они обнаружены были в лаборатории, где мюоны образуются из других частиц при распаде последних. Возникнув, они "живут" чрезвычайно мало. Среднее время их жизни D t» 2 мкc. Кроме того, эти же m -мезоны были обнаружены позднее в космических лучах, то есть в лучах, проникающих на землю из космоса. Там частицы движутся со скоростями, близкими к скорости света, а не почти покоятся, как те, что образуются в лаборатории.

Если частица родилась в верхних слоях атмосферы и двигалась со скоростью, близкой к скорости света, то проникнуть в толщу атмосферы она может лишь на глубину, равную произведению этой скорости на время жизни частицы t', что соответствует расстоянию не более 600 метров. В 1939 году мюоны были обнаружены на уровне моря. Значит они прошли путь около двадцати километров, то есть всю толщу земной атмосферы. Объяснить этот факт можно лишь так: время t' есть время жизни, измеренное в лаборатории, когда частица практически покоилась. При ее движении относительно Земли с большой скоростью время ее жизни остается прежним в системе, связанной с ней самой (находясь внутри системы обнаружить ее движение нельзя). Поскольку распад происходит именно в этой системе, оно минимально. В системе связанной с Землей, время жизни частицы можно найти по (5.18), это будет время t, которое оказывается порядка 60 мкс при u = 0,999 с. За это время частица успевает пройти толщу атмосферы.