Связь массы и энергии

Обе названные в заголовке величины являются категориями динамики. В классической физике масса является характеристикой тела, мерой его инертности. Энергия (кинетическая) может меняться лишь за счет изменения скорости движения тела. На основании соотношений (5.29) можно получить принципиально новую, не известную в классической физике, связь между этими двумя величинами: излучение электромагнитной волны (например, света) оказывается связанным с излучением не только энергии, как считалось ранее, но и определенной массы.

Для вывода связи массы и энергии вновь представим мысленный опыт. Пусть в системе К (см. рис. 5.6) светящееся тело обладает энергией E ₀ до того, как оно излучило энергию e двумя квантами с частотой n каждый. Под энергией E ₀ следует понимать все виды энергии, которыми может обладать любое тело: тепловую, потенциальную, электромагнитную и др. Поскольку кванты испущены в разные стороны, тело не получит “отдачи”, то есть не сместится из первоначального положения. Но энергия его уменьшилась на 2 h n и стала теперь E ₁, то есть

E 0 = E 1 + 2 h n = E 1 + e,

(5.30)

где e – энергия излучения, равная изменению энергии светящегося тела.

С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе К¢, равенство (5.30) будет выглядеть несколько иначе. Энергии E ₀ и E ₁ будут, с его точки зрения, включать, помимо упомянутых выше видов энергии, еще и кинетическую энергию излучающего тела: наблюдатель в системе К¢ считает, что светящееся тело движется со скоростью u, т. е. кинетическая энергия этого тела массы m будет mu² /2, и именно на эту величину будет, с его точки зрения, больше энергия и и .

Частоты испущенных квантов будут разными и отличаются от частоты n в силу эффекта Доплера (5.29), поэтому

.

(5.31)

Итак, один и тот же процесс описывается с двух точек зрения двумя разными уравнениями: (5.30) и (5.31). Если их почленно вычесть, получим:

,

(5.32)

где – кинетическая энергия излучающего тела до излучения, а – после излучения. Кажется очевидным, что они должны быть равны: процесс излучения не мог изменить скорость u относительного движения систем. Массу же тела мы всегда считали неизменной характеристикой инертности движущегося тела. Нетрудно проверить это положение, перенеся в равенстве (5.32) в левую часть, получив тем самым изменение кинетической энергии в процессе излучения:

.

(5.33)

Если правая часть полученного равенства равна нулю, то процесс излучения не вызвал изменения кинетической энергии светящегося тела. Если же правая часть уравнения (5.33) нулю не равна, значит излучение электромагнитной волны приводит к изменению кинетической энергии излучающего тела, точнее его массы, поскольку относительная скорость движения систем отсчета никак не связана с процессом излучения. Помимо элементарных алгебраических преобразований и уравнений (5.29) нам понадобится еще бином Ньютона:

.

(5.34)

Итак, преобразуем правую часть уравнения (5.33):

.

(5.35)

Если корень, стоящий в знаменателе, разложить в степенной ряд по формуле бинома Ньютона и ограничиться двумя членами разложения:

,

(5.36)

то из выражения (5.35) получим:

,

(5.37)

что противоречит ожидаемому нулевому результату.

В левой части равенства изменение энергии можно отнести только к изменению массы, поскольку скорость относительного движения систем не могла измениться в процессе излучения:

.

(5.38)

Приравняв выражения (5.37) и (5.38), находим:

; Þ .

(5.39)

Учитывая,что e есть энергия излучения, равная изменению энергии DE светящегося тела, получим:

.

(5.40)

О последнем соотношении Эйнштейн пишет: "Если тело выделяет энергию в форме излучения, масса его меняется на величину e/с ². Масса тела является мерой его энергии. Не исключена возможность, что данная теория сможет быть успешно проверена на телах, энергия которых сильно меняется (соли радия). Если эта теория соответствует фактам, то излучение является средством передачи инерции от излучающих тел поглощающим."

И действительно, формула (5.40), выражающая связь между энергией и массой, оказалась справедливой при всех видах радиоактивности и используется в расчетах энергетических выходов ядерных реакций.