Тема 4. Экономико-математические методы, применяемые в экономическом анализе. Корреляционный и регрессионный анализ

Цель: Изучить корреляционный анализ; иметь представление о статистической и функциональной связи; знать основную задачу корреляционного анализа; линейный коэффициент корреляции Пирсона; свойства линейного коэффициента корреляции; значимость

коэффициента корреляции; его экономическую интерпретацию; основные положения многомерного корреляционного анализа.

Изучить регрессионный анализ, его основную задачу; этапы регрессионного анализа;

виды уравнений регрессии; оценку значимости уравнения регрессии. Понимать использование

регрессионного анализа в прогнозировании. Уметь оценивать степень близости уравнения регрессии к фактическим данным. Уметь рассчитывать коэффициент детерминации; ошибку уравнения регрессии; коэффициент корреляции Фи при измерениях в дихотомических шкалах; коэффициент корреляции Спирмена при измерениях в шкалах порядка.

План

1. Понятие и классификация экономико-математических методов, применяемых в экономическом анализе.

2. Корреляционный анализ.

3. Регрессионный анализ.

4. Приложение корреляционного и регрессионного анализа к экономическим исследованиям.

1. Понятие и классификация экономико-математических методов, применяемых в экономическом анализе

В соответствии с целями анализа осуществляется классификация методов:

1. Прогноз (регрессионный анализ, экспоненциальное сглаживание, прогноз на основе преобразования Фурье с учётом сезонных колебаний).

2. Факторный анализ (дисперсионный анализ, корреляционный анализ, метод главных компонент).

3. Оптимизация (математическое программирование, теория игр).

4. Классификация (кластерный анализ, теория распознавания образов и т.д.)

2. Корреляционный анализ

Корреляция - взаимосвязь, взаимозависимость. Функциональная связь состоит в том, что определенному значению одной переменной соответствует определенное значение другой.

Статистическая (вероятностная, стохастическая) связь, когда каждому значению одной переменной соответствует некоторое распределение другой переменной. Возникновение этого понятия обусловлено тем, что зависимая переменная подвержена влиянию ряда неучтенных и неконтролируемых факторов, а также тем, что измерение значения переменных неизбежно сопровождается случайными ошибками.

Основной задачей корреляционного анализа является выявление связи между случайными переменными и оценка ее тесноты. Корреляционный анализ применяется, когда данные наблюдений можно считать случайными и выбранными из генеральной совокупности, распределенной по многомерному нормальному закону.

ПРИМЕР:

Предположим, что произведена выборка n значений показателя в ретроспективном периоде и влияющего на него фактора. В результате получен ряд значений показателя и влияющего на него фактора .

Корреляционный анализ позволяет количественно оценить тесноту связи между признаком и фактором. Наличие и количественную характеристику связи между признаком и фактором можно определить с помощью оценки коэффициента корреляции Пирсона (линейный коэффициент корреляции Пирсона).

причем

или

Обычно считают:

| R | < 0,3 - связь слабая (нет зависимости)

0,3 | R | 0,6 - связь средняя

0,6<| R | 1 -связь сильная

Теснота связи "сильная", переходящая в функциональную линейную связь при | R| = 1.

Если коэффициент корреляции равен 0, то случайные переменные х и у не коррелированны. Некоррелированность признаков х и у свидетельствует об отсутствии линейной связи междуними, но не является признаком отсутствия зависимости у от х вообще. Между ними может существовать нелинейная зависимость.

Пример. Рассчитан коэффициент корреляции между себестоимостью продукции и производительностью труда рабочих.R= -0.92. Вывод:

Сильная корреляционная связь между производительностью труда рабочих и себестоимостью продукции. Минус свидетельствует о том, что связь обратная, т.е. при повышении производительности труда себестоимость продукции снижается.

Свойства коэффициента корреляции:

Ø коэффициент корреляции по абсолютной величине находится в интервале от -1 до 1.

Ø величина R не изменится, если все значения х и у разделить или умножить на одну и ту же величину.

Ø величина R не изменится, если ко всем значениям х и у прибавить или отнять одну и ту же величину.

Ø в любом явлении должна присутствовать причинно-следственная связь (логика).

Коэффициент корреляции исчисляется по выборочным данным и как любой статистический показатель может быть определен с некоторой погрешностью. При отсутствии корреляционной связи между признаками, коэффициент корреляции =0, однако из-за случайного отбора данных выборочный коэффициент корреляции может быть и отличным от 0. В связи с этим возникает необходимость проверки значимости коэффициента корреляции, вычисленного на основании отбора данных. Выборочный коэффициент корреляции считается значимым, если выводы относительно наличия и характера корреляционной связи, сделанные на основании выборки, справедливы и для генеральной совокупности.

Рассмотрим способ оценки значимости коэффициента корреляции: Каждому значению коэффициента корреляции соответствует случайная величина t, подчиненная распределению Стьюдента с К=n-2 степенями свободы (n - объем выборки), . Вычисленное по этой формуле значение t сравнивают с табличным значением , которое находят по таблицам распределения Стьюдента при заданном уровне значимости и количеством степеней свободы К.

Если |t|> , то корреляционная связь между переменными считается значимой. Если |t| , то различие между выборочным коэффициентом корреляции R и коэффициентом корреляции ,взятым из генеральной совокупности, равное 0, не значимо, а отличие R от 0 объясняется случайным характером отбора данных.

Коэффициент корреляции, применяемые в дихотомических и ранговых шкалах измерениях.

Различают 4 шкалы измерения переменных:

1. Дихотомическая шкала (мужчины или женщины, сезонный рабочий или нет, банкрот или нет).

2. Дихотомия в предположении о нормальном законе распределения(t=37°: ниже-здоров, выше-болен)

3. Ранговая шкала (бальная, порядковая) -Упорядочить коммерческие банки по имиджу

4. Шкала отношений или интервалов(°С, м, грн., часы). Из 4 шкалы можно перейти в 1 или 2, 3 те или иные условия.

Рассмотрим коэффициент корреляции, когда:

· обе переменные измеряются в дихотомических связях. Мера связи коэффициент (фи):

Пример: необходимо установить связь между студентами университета, исключенными или оставшимися (1 и 0 соответственно) и семейным положением. Женат -1 холост – 0

Номер студента	X (женат/ холост)	Y(исключен/ оставлен)

- доля студентов, имеющих 1 по х; - 1 по у; - 0 по х; - 0 по у

· обе переменные измеряются в шкалах порядка. Мера связи - ранговый коэффициент корреляции Спирмена:

n - объем выборки

- разность между рангом по х объекта и его же рангом по у.

X – месторасположение

Y - имидж

№	X	Y
…n	…	…

3. Регрессионный анализ

Регрессия - в переводе с латинского "движение назад".

Основная задача регрессионного анализа - установление формы и изучение зависимости между переменными.

Регрессионный анализ включает 3 этапа:

•логический;

•графический;

•определение уравнения теоретической линии регрессии, то есть установление функциональной связи между признаком и фактором.

Рассмотрим эти этапы подробнее:

1. Логический - такой вид анализа, при котором (в ретроспективном периоде в зависимости от эмпирических данных экономического показателя и значения влияющего на него фактора) можно сделать предположение относительно наличия и направления связи между признаком и фактором.

2.На этапе графического анализа числовые значения фактора х откладываются на оси абсцисс, а значение результирующего показателя у на оси ординат. Точки на графике, соответствующие каждой паре значений х и у, образуют поле корреляции. По характеру расположения точек можно судить о форме и направлении связи. Соединив последовательно точки на плоскости получим ломаную линию, называемую эмпирической линией регрессии. По ее виду можно предположить тип теоретической линии регрессии.

3. Процесс нахождения теоретической линии регрессии заключается в выборе и обосновании типа кривой и расчета параметров ее уравнения. Теоретическая линия регрессии представляется в виде прямой либо плавной кривой, выражается математическим уравнением того или иного типа.

Типы регрессии:

Наиболее распространенными математическими формами связи результирующего показателя и фактора являются следующие уравнения:

у(х)=а+bх - линейная

у(х)=а+b/х - гиперболическая

у(х)=а+bх+сх - параболическая

у(х)=а*ехр(b,х) - экспоненциальная

у(х)=а*х - степенная

у(х)=а+b*1оg (х) – логарифмическая

у(х)=а* - показательная

После выбора формы связи рассчитаем параметры теоретического уравнения регрессии. Способ расчета основан на требовании максимальной близости ее к эмпирической линии регрессии. Для отыскания параметров используется метод наименьших квадратов, который основан на том, что из множества зависимостей у=f(х) наилучшим образом приближающихся к эмпирической линии регрессии является та, для которой сумма квадратов отклонений фактических значений признака от вычисленных по этому уравнению является наименьшей.

Разберем линейную математическую форму связи, при которой неизвестные коэффициенты "а" и "Ъ" определяются из решения системы уравнений:

С помощью полученного уравнения регрессии можно определить выравнивание значений показателя в ретроспективном периоде.

Подставим фактическое значение в уравнение регрессии. Прогноз показателя осуществляется подстановкой задаваемых значений в прогнозном периоде в найденную функцию.

Интерполяция - (лат. - обновлять) - построение приближенного или точного аналитического выражения функциональной зависимости, если о ней известны только соотношения между значениями независимой переменной и соответствующими значениями функции в дискретном ряде точек.

Экстраполяция - (лат.: вне) - распространение результатов, полученных из наблюдения влияния одной части явления на другую. На практике, осуществляя экстраполяцию, необходимо соблюдать условия:

· надежность и репрезентативность исходных данных;

· допустимость экстраполяции должна сопровождаться качественным анализом.

Аппроксимация - приближенное выражение математических величин (чисел, функций) через другие более простые.

С помощью полученного уравнения регрессии можно определить выравнивание значения показателя у в ретроспективном периоде, подставив фактические значения в уравнение регрессии.

Прогноз показателей осуществляется так: в найденную функцию подставляют задаваемые значения х в прогнозируемом периоде и получают планируемые величины показателей. Оценку степени близости полученного уравнения регрессии к фактическим (эмпирическим) данным можно определить на основе корреляционного отношения:

0 1

Чем ближе к 1, тем лучше теоретическое уравнение регрессии аппроксимирует эмпирические данные.

Корреляционное отношение может быть применено при изучении тесноты прямолинейной и криволинейной связи между х и у. При линейной зависимости между х и у корреляционные отношения равняются линейному коэффициенту корреляции. Если при нелинейной зависимости используется линейный коэффициент корреляции, то он занижает результат.

Ошибка уравнения регрессии показывает в среднем отклонение фактических данных от теоретических данных:

, где

n - объем выборки

p - число, определяющее в уравнении регрессии параметры

Чем ошибка меньше, тем лучше теоретическое уравнение регрессии аппроксимирует эмпирические данные. Допустимой в экономических расчетах считается ошибка 5-8%.

В результате экстраполяции следует стремиться не к получению точной величины показателя, а к определению того доверительного интервала, в котором находится искомая величина с известной вероятностью. В связи с этим необходимо проверить значимость оценок параметров регрессии, то есть каждого коэффициента регрессии и уравнения регрессии. В связи высказывается гипотеза (Н ) о том, что все коэффициенты регрессии кроме первого равны 0. Проверка гипотезы Н осуществляется с помощью критерия Фишера:

причем

При заданном уровне значимости для степеней свободы (p -1) и степеней свободы (n - р) по таблице F-распределения Фишера находят табличное значение и сравнивают его с расчетным.

Если , то гипотеза Н отвергается, т.е. уравнение регрессии считается значимым, и наоборот.

Коэффициент детерминации - показатель, используемый для разложения отдельных факторов. Он показывает какую долю общей дисперсии составляет дисперсия, образующаяся под влиянием изучаемого фактора:

Пример:

При оценке тесноты связи между производительностью труда и себестоимости продукции коэффициент детерминации оказался равным 0.87. Это значит, что 87% вариации (или изменения) в себестоимости продукции обусловлено вариацией (изменением) производительности труда. Влияние прочих факторов незначительно, и равно 13%.

Пример:

Проведем корреляционный и регрессионный анализ фондоотдачи (y) от следующих факторов:

- удельный вес машин и оборудования в общей стоимости ОПФ.

- электровооруженность рабочих

- уровень использования производственных мощностей.

Были получены следующие коэффициенты корреляции:

; ; .

В связи с тем, что коэффициент корреляции между у и х маленький, то х в дальнейшем не используется. В результате дальнейшего исследования было получено следующее уравнение регрессии: у=-3,85+0,0774х +0,0234х Параметры уравнений регрессии интерпретируются следующим образом: свободный член а=-3,85 экономической интерпретации не имеет, он определяет положение начальной точки линии регрессии в системе координат. Коэффициент регрессии при показывает, что увеличения удельного веса машин и оборудования в общей стоимости ОПФ на 1% ведет к росту фондоотдачи на 7,74грн.

Повышение уровня загруженности мощности на 1% поднимает фондоотдачу на 2,34грн.

4. Приложение корреляционного и регрессионного анализа к экономическим исследованиям.

Ведущим направлением корреляционного анализа в экономике является исследование зависимости в сфере производства с помощью производственной функции.

Под производственной функцией понимается зависимость выпуска продукции от затрат различных производственных ресурсов. В общем виде функцию выпуска можно записать:

,где

Р - объем производимой продукции F... - затраты ресурсов (труда, основных средств, сырья, материалов и т.д.)

В данном случае зависимость между затратами различных видов ресурсов (независимые переменные) и объемом выпуска продукции (зависимые переменные) должна быть выражена уравнением множественной корреляции. Одной из первых практических работ в области изучения производственной функции было исследование, проведенное И. Коббом и П. Дугласом и называется "производственной функцией Кобба и Дугласа" (ПФКД) по данным обрабатываемой отрасли промышленности США за период 1899 -1922 гг.

В этих исследованиях была проведена функция следующего вида:

Р=

Р - индекс промышленного производства

L - индекс численности рабочей силы

К - индекс основного капитала рассматриваемых отраслей

- временная тенденция развития производства (НТП)

-характеризует темпы роста продукции под влиянием НТП.

Для отдельного предприятия, выпускающего однородный продукт, производственная функция может связывать объем выпуска с затратами рабочего времени по различным видам трудовой деятельности, различными видами сырья, комплектующих изделий, энергии, основного капитала, т.е. производственная функция характеризует действующую технологию предприятия.

Для уровня макро анализа: при построении ПФ для региона или страны в качестве величины годового выпуска У чаще берут совокупный продукт (или доход) региона или страны; в качестве ресурсов рассматривают основной капитал, живой труд, иногда в качестве 3-го фактора вводят объемы используемых природных ресурсов и технический прогресс:

Если в функцию Р ввести , то мы вводим показатель научно-технического прогресса, где характеризует темп прироста выпуска продукции под влиянием НТП.

Исследования, проведенные в СССР (1960 - 1986гг.) дали следующую производственную функцию:

Чаще всего а и а в сумме должны равняться 1.

Исследования показывают, что эффективность затрат связана с масштабами производства. При этом в одних отраслях (энергетика, металлургия) укрупнение производства сопровождается повышением эффективности затрат, а в других (сельское хозяйство, торговля) характерно убывающая эффективности затрат. Исследование ПФ народного хозяйства СССР показало, что 68,2% всего прироста продукции получено за счет увеличения объема использования ресурсов, а 31,8% прироста обусловлено факторами технического прогресса и увеличением масштабов производства. Корреляционный анализ можно использовать в анализе функций спроса и предложения.

Спрос и предложение населения относятся к таким экономическим показателям, для которых трудно предвидеть будущие изменения. Структура спроса и предложения определяется многочисленными факторами социально-экономического, физиологического, естественно-географического характера. Среди них следует отметить такие "неуловимые" факторы, как капризы моды изменение привычек и вкусов и т.д., но это не означает, что спрос и предложение представляет собой нечто хаотическое, не подвластное никаким закономерностям. Несмотря на то, что поведении отдельного потребителя проявляется много субъективного, случайного, для всей массы потребителей характерны объективные закономерности статистического характера и наиболее соответствующим их природе методом исследования является корреляционный анализ. К основным объективным факторам, воздействующим на объем я структуру спроса и предложения относятся:

· доходы;

· уровень и соотношение цен на товары;

· размер и состав семьи.

Более углубленный анализ требует изучения таких факторов как состояние товарного рынка и состояние запасов у самих потребителей. В процессе исследования спроса и предложения строятся модели как парной так и множественной корреляции.

С помощью корреляционного анализа осуществляется обоснование нормативов.

Пример: численность основных производственных рабочих находится во взаимозависимости с имеющимся количеством оборудования, планом выпуска продукции, а вот количества обслуживающего, вспомогательного, управленческого персонала у нас нет, т.к. нет четких критериев их нормативов. Корреляционный анализ позволяет решить эту задачу.