Тема 12.1. Корреляционно-регрессионный анализ

Существуют различные виды и формы связей, различающиеся по существу, характеру, направлению, тесноте, аналитическому выражению.

По характеру зависимости явлений различают функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи.

По направлению различат связи прямую и обратную. Прямой будет являться связь, при которой с ростом значений факторного признака растут значения результативного признака. Если с увеличением значений одного признака величина другого признака, от него зависящего, уменьшается, то такая связь будет являться обратной.

По аналитическому выражению различают связи линейные и криволинейные. Линейной называют такую связь, которая может быть выражена аналитическим уравнением прямой линии. Связь, выраженная уравнением какой-либо кривой линии, называется криволинейной.

По количеству факторов, действующих на результативный признак, связи различаются однофакторные и многофакторные.

Связи между социальными и экономическими явлениями могут быть слабыми и сильными (тесными), которые измеряются с помощью специальных коэффициентов.

Одним из методов моделирования экономических процессов является корреляционно-регрессионный метод исследования, состоящий как бы из двух этапов. К первому этапу относится корреляционный анализ, а ко второму – регрессионный анализ.

Корреляция — это статистическая зависимость между случайными вели­чинами, не имеющая строго функционального характера, при которой измене­ние одной из случайных величин приводит к изменению математичес-кого ожи­дания другой.

С помощью корреляционного анализа определяется количественная теснота взаимосвязи и факторов, а с помощью регрессивного анализа определяется аналитическое выражение связи, в котором изменение одной величины, обу­словлено влиянием одной или нескольких независимых величин. Изучая дан­ную тему целесообразно придерживаться такой последовательности:

1) линейная регрессия;

2) криволинейная регрессия;

3) множественная регрессия;

4) определение оценок коэффициента корреляции и регрессивных уравнений.

Мерой существенности влияния являются показатели тесноты связи: линейный коэффициент корреляции при прямолинейной форме связи и корреляционное отношение при нелинейной форме связи.

Линейный коэффициент корреляции изменяется от –1 до +1. О тесноте связи свидетельствует абсолютная величина коэффициента корреляции. Чем теснее связь между признаками, тем ближе к единице будет значение линейного коэффициента корреляции и наоборот.

Теснота связи и величина коэффициента корреляции

Оценка критерия	Уровень значимости
±0,91-1 ±0,81-0,9 ±0,65-0,8 ±0,45-0,64 ±0,25-0,44 до ±0,25	Очень сильная Весьма сильная Сильная Умеренная Слабая Очень слабая

Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле: , где

.

При наличии нелинейной связи применяют корреляционное отношение:

Также на степень тесноты связи указывает и коэффициент детерминации. Он показывает долю вариации результативного признака под влиянием вариации признака фактора. Числовое значение коэффициента детерминации всегда заключено в пределах от 0≤ R² ≤ 1. Коэффициент детерминации равен коэффициенту корреляции возведенному в квадрат: . В некоторых случаях он более предпочтителен для измерения связи, т.к. может быть использован не только для измерения линейной связи, но и нелинейной.

Важнейшим этапом построения регрессионной модели (уравнения регрессии) является установление в анализе исходной информации математической функции. Сложность заключается в том, что из множества функций необходимо найти та­кую, которая лучше других выражает реально существующие связи между анализируемыми признаками.

Зависимости между признаками выражаются следующими уравнениями:

Прямой

Гиперболы

Логарифмической

Параболы 2-го порядка

Параметры линейного уравнения парной регрессии находятся методом наименьших квадратов - .

Для уравнения линейной регрессии параметры уравнения рассчитываются по формулам: ; , где

а₀ – параметр, который не имеет экономического смысла – это

среднее значение у в точке х=0.

а₁ – показатель силы связи между вариацией факторного признака х и вариацией результативного признака у. Он показывает среднее значение изменения результативного признака у при изменении факторного признака х на одну единицу. Знак а₁ указывает направление этого изменения.

В тех случаях, когда установлено, что связь между признаками заметная, высокая или весьма высокая, теоретические уравнения связи приобретают практическое значение и могут быть использованы в плановых и нормативных расчетах.

Задача. Имеются данные о производительности труда и стаже работы 10 рабочих одной бригады занятых производством радиоэлектронных изделий, данные ранжированы по стажу их работы.

Для расчета параметров строим вспомогательную таблицу:

Стаж работы,	Дневная выработка	х2	у2	ху	ŷ
годы,х	рабочего, шт, у
					4,6
					5,2
					5,8
					6,4
					7,6
					8,2
					8,8
					9,4

Пользуясь расчетными значениями таблицы рассчитываем:

а) коэффициент корреляции:

=

=

=

б) коэффициент детерминации:

Рассчитываем параметры уравнения регрессии:

=

= 7,3 - 0,6*5,5 = 7,3 – 3,3 = 4,0

Таким образом, уравнение приобретает вид: .

Проанализировав полученные данные можно сделать вывод, что между стажем работы и производительностью труда лежит прямая тесная прямолиней-ная связь. На это указывает график, коэффициент корреляции равный 0,96. Коэффициент детерминации равен 0,92 – это говорит о том, что вариация результативного признака на 92% обусловлена вариацией фактор-ного признака. Уравнение регрессии показывает, что с увеличением стажа работы на 1 год дневная выработка увеличивается на 0,6 штук. Так как разность между суммой теоретических и практических уровней практически отсутствует – это также указывает на правильный выбор функции и расчета параметров уравнения.

Вопросы для самоконтроля

1. Что такое корреляция?

2. Какие вы знаете виды зависимости?

3. Чем отличается множественная корреляция от частной?

4. Можно ли изобразить корреляционную связь графически?

5. Назовите виды регрессий

Тестовые задания к теме 12.1

1. Корреляция - это

а) форма статистической зависимости;

б) изменение явления во времени;

в) количественное выражение статистической зависимости.

2. Коэффициент корреляции выражает:

а) только тесноту связи;

б) только направление связи;

в) тесноту и направление связи.

3. Коэффициент корреляции равен - 0,9 - это говорит:

а) о тесной прямой связи между факторами;

б) о тесной обратной связи между факторами.