Тема 7.1. Средние величины, их сущность и способы определения

Кроме абсолютных и относительных величин в статистике вычисляют-ся средние величины.

С помощью средней можно охарактеризовать совокупность по количественно варьирующему признаку, а также сравнить между собой раз­личные совокупности по варьирующим признакам.

Для решения разнообразных задач, возникающих на практике, используются различные виды средних величин.

Конкретное решение о том, какой вид средней величины надо использовать в каждом отдельном случае, принимается в зависимости от экономического содержания изучаемого явления.

1) Средняя арифметическая является наиболее распространенным видом средних, бывает простая и взвешенная.

Средняя арифметическая простая равна сумме значений признака, деленной на их число: , где

х – значение признака (вариант);

п – число единиц признака.

Средняя арифметическая простая применяется в случаях, когда варианты представлены индивидуально в виде их перечня в любом порядке.

Пример. Доходы пяти банков по операциям с ценными бумагами за отчетный период составили: 0,4; 0,7; 0,8; 1,1; 1,2 тыс. рублей. Определить средний доход банка по данной операции.

Решение. Средний доход банков по операциям с ценными бумагами равен = 4,2/5= 0,84 тыс. рублей

С редняя арифметическая взвешенная применяется в тех случаях, когда данные представлены в виде дискретных или интервальных рядов распределения, в которых одинаковые значения признака (х) объединены в группы, имеющие различное число единиц (f), называемое частотой (весом):

Пример1. Имеются данные страховых организаций области о числе заключенных договоров по личному добровольному страхованию

№ группы	Число договоров, тыс. x	Число страховых организаций f	Удельный вес страховых организаций d	Число заключенных договоров xf	xd
I II III IV V					2.4 5.2 9.0 10.24 2.16
	Итого				29,0

Определить среднее число заключенных договоров в расчете на одну страховую организацию области.

Решение. Среднее число договоров на одну страховую организацию определяется отношением общего числа заключенных договоров к числу страховых организаций:

_ 20*6+26*10+30*15+32*16+36*3 1450

х = ----------------------------------------------= --------= 29 тыс.

50 50

В качестве весов могут быть использованы относительные величины, выраженные в процентах (d). Метод расчета средней не изменится.

Если проценты заменить коэффициентами (d =1), то x = xd.

= 20*0,12+26*0,2+30*0,3+32*0,32+36*0,006=29,0 тыс.

Пример 2. По данным выборочного наблюдения имеется следующее распределение фермерских хозяйств района по размерам угодий:

№ группы	Хозяйства по размерам угодий, га X	Число хозяйств f	Середина интервала x’	xf
I II III IV V	До 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 Свыше 70
	Итого		-

Определить средний размер угодья на одно фермерское хозяйство по району.

Решение. Для расчета средней из интервального ряда необходимо выразить варианты одним (дискретным) числом. Для закрытых интервалов (группы II – IV) за дискретное число принимается средняя арифметическая простая из верхнего и нижнего значений интервала. Для определения варианты в группах с открытыми интервалами (группы I и V) предполагается, что для первой группы величина интервала равна интервалу второй группы, а в последней группе – интервалу предыдущей.

= 4900/100=49 га.

2) С редняя гармоническая является преобразованной формой средней арифметической. Используется в том случае, когда неизвестна численность совокупности, но известны произведения значений варьирующего признака на соответствующие им веса. Также бывают двух видов: простой и взвешенной.

Средняя гармоническая простая применяется в том случае, когда объем признака равен const. , где

х – отдельные значения признака (варианты)

n – общее число вариант.

Пример. Две машины прошли одни и тот же путь: одна со скоростью 60 км/час, а вторая – 80 км/час. Найти среднюю скорость обеих машин.

Решение. Принимаем протяженность пути, который прошла каждая машина за единицу, тогда средняя скорость составит:

Средняя гармоническая взвешенная имеет вид: , где

W – произведение признака на его вес (x*f)

Пример.

Выпуск продукции в отчетном году характеризуется следующими данными:

№ цеха	Себестоимость 1 изделия, руб. x	Выпуск продукции, тыс.руб. w=xf
	-

Определить среднюю себестоимость 1 изделия.

Решение. В данном примере отсутствуют прямые данные о количестве произведенной продукции. Но его можно определить косвенным путем, разделив выпуск продукции (w) на себестоимость 1 изделия (x).

Средняя себестоимость будет равна:

Средняя геометрическая – это величина, применяемая для расчета средних из относительных величин – она используется для расчета средних темпов роста.

где х – цепной коэффициент роста

n – количество периодов, по которым имеются коэффициенты роста

Пример. Предположим, что имеются следующие данные о темпах роста товарооборота фирмы за ряд лет:

Годы
Темп роста товарооборота	102,5	109,2	112,4	101,5

Определите средние темп роста с 2000 по 2003 г.г.

Решение. Значения темпов роста переводим из процентов в коэффици-енты и подставляем в формулу средней геометрической

Вывод: среднегодовой темп роста фирмы составил 106,3%.

Среднегодовой темп роста может рассчитываться с использованием другой формулы средней геометрической:

Где У1 – абсолютная величина явления в первом году периода

Уn – абсолютная величина явления в последнем году периода

n – количество лет

Пример. Стоимость продукции, произведенной фирмой Х в 1991 г., составила 200 тыс.руб, а в 1999 – 1млн.200тыс. руб.

Определить среднегодовой темп роста.

Решение.

Удобство данной формулы состоит в том, что при расчетах не требуются данные за все годы периода.

Решение о том, какая из двух приведенных формул средней геометрической должна использоваться в каждом конкретном случае, принимается в зависимости от наличия исходных данных.

Средняя хронологическая – используется для расчета среднего уровня моментного ряда. В том случае, если имеющиеся данные относятся к фиксированным моментам времени, то используется следующая формула:

где х – значение уровней ряда

n – число имеющихся показателей

Пример. На счете фирмы в банке были зафиксированы остатки средств на следующие даты, тыс.руб.:

на 01.03 – 128 на 04.03 - 161

на 02.03 – 144 на 05.03 - 147

на 03.03 – 155 на 06.03 - 154

на 07.03 - 158

Рассчитать средний остаток средств на счете фирмы за рассматривае-мый период.

Решение.

Вопросы для саоконтроля

1. Что называется средней величиной?

2. Какие виды средних величин вы знаете?

3. В каких случаях вычисляется средняя арифметическая?

4. На чем основывается средняя гармоническая?

5. На чем основывается выбор средней величины?

Тестовые задания к теме 7.1

1. Средний уровень ряда динамики определяется как:

а) средняя арифметическая;

б) средняя гармоническая;

в) средняя хронологическая.

2. Средний уровень моментного ряда динамики с равными интерва­лами вычисляется по формуле:

а) средней арифметической;

б) средней хронологической простой;

в) средней хронологической взвешенной.

3. Как изменится средняя величина, если вес варианты признака увеличить в два раза, а все коса оставить неизменными:

а) не изменится;

б) уменьшится;

в) возрастет.