Раздел 8. Ряды распределения в статистике

После определения группировочного признака и границ гpyпп строится ряд распределения.

Статистический ряд распределения представляет собой упорядоченное распределение единиц изучаемой совокупности на группы по определенному варьирующему признаку. Признаки могут быть атрибутивными и количествен­ными.

Ряды в зависимости от характера вариации подразделяются на дискрет­ные, основанные на дискретных (прерывных) признаках, имеющих только це­лые значения и интервальные, основанные на непрерывных признаках (прини­мающих любые значения, в том числе и дробные).

После построения ряда распределения и группировки, характер распределения можно изобразить графически в виде полигона, гистограммы, кумуляты и огивы.

Полигон используется при изображении дискретных вариационных рядов. Для его построения в прямоугольной системе координат по оси абсцисс в одинаковом масштабе откладываются ранжированные значения варьирующего признака, а по оси ординат наносится шкала для выражения численности каждого варианта, т.е. величины частот.

Например, распределение рабочих по тарифному разряду изобразить в виде полигона.

Тарифный разряд
Число рабочих

Гистограмма применяется для изображения интервального вариационного ряда. При построении гистограммы на оси абсцисс откладываются величины интервалов, а частоты изображаются прямоугольниками, построенными на соответствующих интервалах. Высота столиков должна быть пропорциональна частотам. Гистограмма может быть преобразована в полигон распределения, если середины верхних сторон прямоугольников соединить прямыми.

Для графического изображения вариационных рядов может использоваться кумулята, которая изображает ряд накопленных частот. При построении кумуляты интервального вариационного ряда по оси абсцисс откладываются варианты ряда, а по оси ординат – накопленные частоты. Если при графическом изображении вариационного ряда в виде кумуляты оси поменять местами, то получим огиву.

По условию предыдущей задачи строим кумуляту:

Тарифный разряд
Число рабочих
Накопленная частота

Графическое изображение рядов распределения позволяет более наглядно представить распределение данных статистического наблюдения.

Вспомогательными описательными характеристиками распределения варьирующего признака являются структурные средние - мода и медиана.

Модой в статистике называется величина ряда, которая чаще всего встречается в данной совокупности.

В дискретном вариационном ряду это будет вариант, имеющий наибольшую частоту.

Для интервальных вариационных рядов распределения мода рассчитывается по формуле:

f_Mo - f_Mo-1

Мо = х_Мо + i_Mo ---------------------------------, где

(f_Mo - f_Mo-1) + (f_Mo - f_Mo+1)

Мо – мода;

х_Мо – нижняя граница модального интервала;

i_Mo – величина модального интервала;

f_Mo – частота модального интервала;

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующая модальному;

f_Mo+1 – частота интервала, следующего за модальным.

Медианой называется вариант, который находится в середине вариаци­онного ряда и делит его на две равные части.

В ранжированном ряду из четного числа членов медианой будет средняя арифметическая из двух вариантов, расположенных в середине ряда.

Медиана дискретного вариационного ряда определяется по сумме накопленных частот, которая должна превышать половину всего объема единиц совокупности.

Для определения медианы в интервальном ряду используют формулу:

Для интервальных вариационных рядов медиана рассчитывается по формуле:

0,5 Σ f - S _Me-1

Ме = x _Me+ i _Me---------------------, где

f _Me

Ме – медиана;

x _Me – нижняя граница медианного интервала;

i _Me - величина медианного интервала;

f - сумма частот ряда;

S _Me-1 – сумма накопленных частот ряда;

f _Me - частота медианного интервала.

Прежде, чем использовать эту формулу, необходимо определить медианный интервал. Таким интервалом будет интервал кумулятивная частота, ко­торого равна или превышает половину суммы частот.

Кумулятивные частоты образуются путем постепенного суммирования частот, начиная с интервала с наименьшим значением признака.

Пример 1. Определим моду в дискретном ряду.

Группы рабочих по разрядам	Число рабочих	Кумулятивные частоты
Итого		-

Модой в данном ряду будет группа рабочих имеющих 3-й разряд, так как имеет наибольшую частоту - 40.

Медианой в данном ряду будет также группа рабочих 3-го разряда, так как кумулятивная частота 80 > 55 (110: 2).

Но ее можно найти и расчетным путем. Для этого нужно сумму частот разделить пополам и к полученному результату добавить 1/2. Медианой будет: 110: 2 + 1/2 = 55,0 + 0,5 = 55,5, т.е. 55-я варианта, которая делит упорядоченный ряд пополам. Глядя на кумулятивные частоты, можно сказать, что медианой будет рабочий имеющий третий разряд.

Далее рассмотрим расчет моды и ме­дианы в интервальном ряду.

Пример 2. Имеется ряд распределения рабочих по заработной плате (табл. 11).

Группа рабочих по ср.мес.зар.плате, руб.	1300-1400	1400-1500	1500-1600	1600-1700	1700-1800
Число рабочих
Кумулятивные частоты

Модальный интервал будет 1600 - 1700, так как имеет больше всего рабочих - 60.

Модальное значение среднемесячной заработной платы;

60 - 55

Мо = 1600 +100 --------------------------------- = 1616,7 руб.

(60 - 55) + (60 - 35)

Далее определим медиану.

Медианным будет интервал 1500-1600, так как в этом интервале находится серединная варианта (210: 2 + 1/2 = 105 + 0,5 = 105,5).

210/2 - 60

Ме = 1500+100_e--------------------- = 1581,5 руб.

Таким образом, наибольшее количество рабочих получает заработную плату в размере 1616,7 руб., но при этом более половины работников имеют среднемесячную заработную плату - 1581,8 руб.

Вопросы дли самоконтроля

1. Что представляет собой ряд распределения?

2. Какие бывают ряды распределения?

3. Из каких элементов состоит ряд распределения?

4. Какие виды графического изображения рядов распределения вы знаете?

5. Чем отличается полигон от гистограммы?

6. Назовите необходимый элемент для построения кумуляты.

7. Что такое мода?

8. Как определяется мода для дискретного ряда?

9. Что такое медиана?

10. Как определяется медиана и мода для интервального ряда?

11. Что характеризуют мода и медиана?

Тестовые задания но теме 3.3

1. Ряды распределения бывают:

а) вариационными;

б) количественными;

в) атрибутивными;

г) интервальными.

2. Вариационным называется ряд распределения, построенный:

а) по количественному признаку;

б) по количественному и качественному признакам;

в) по качественному признаку.

3. Для построения рядов распределения графически используют:

а) гистограмму и полигон;

б) знаки Варзара;

в) фигурные диаграммы;

г) кумуляты и огивы.

4. Медианой ряда называется величина, которая:

а) чаще всех встречается в ряду:

б) находится п середине ряда;

в) находится в конце ряда.

5. Мода - это величина, которая:

а) характеризует структуру ряда;

б) чаще всего встречается в данной совокупности;

в) делит ряд пополам.

6.Могут ли медианный и модальный интервалы совпадать:

а) могут;

б) не могут.