Биологические модели развития популяций

Общая биология 10-11 P$|f

В биологии при исследовании развития биосистем строят­ся динамические модели изменения численности популяций различных живых существ (бактерий, рыб, животных и пр.) с учетом различных факторов. Взаимовлияние популяций рассматривается в моделях типа «хищник-жертва».

Формальная модель. Изучение динамики численности популяций естественно начать с простейшей модели неогра­ниченного роста, в которой численность популяции ежегод­но увеличивается на определенный процент. Математиче­скую модель можно записать с помощью рекуррентной формулы, связывающей численность популяции следующе­го года с численностью популяции текущего года, с исполь­зованием коэффициента роста а:

*_Л+1 = ^а ' ^Хп-

Например, если ежегодный прирост численности популя­ции составляет 5%, то а — 1,05.

В модели ограниченного роста учитывается эффект пере­населенности, связанный с нехваткой питания, болезнями и так далее, который замедляет рост популяции с увеличени-

Глава 5

ем ее численности. Введем коэффициент перенаселенности Ъ, значение которого обычно существенно меньше а (Ь<.а). Тогда коэффициент ежегодного увеличения численности ра­вен (а - Ъ • х_п) и формула принимает вид:

*«+i = (а-Ь-х_п)- х_п.

В модели ограниченного роста с отловом учитывается, что на численность популяций промысловых животных и рыб оказывает влияние величина ежегодного отлова. Если величи­на ежегодного отлова равна с, то формула принимает вид: ^x„+i = (а-Ь-х_п)- х_п-с.

Популяции обычно существуют не изолированно, а во взаимодействии с другими популяциями. Наиболее важным типом такого взаимодействия является взаимодействие между жертвами и хищниками (например, караси-щуки, зайцы-волки и так далее). В модели «хищник-жертва* ко­личество жертв х_п и количество хищников у_п связаны меж­ду собой. Количество встреч жертв с хищниками можно счи­тать пропорциональным произведению количеств жертв и хищников, а коэффициент / характеризует возможность ги­бели жертвы при встрече с хищниками. В этом случае чис­ленность популяции жертв ежегодно уменьшается на вели­чину f'х_п-у_п и формула для расчета численности жертв принимает вид:

^xn+i = (а-Ъ-х_п)- х_п-с - f-x_n-y_n. Численность популяции хищников в отсутствие жертв (в связи с отсутствием пищи) уменьшается, что можно опи­сать рекуррентной формулой

Уп+i = Л-Уп> где значение коэффициента d < 1 характеризует скорость уменьшения численности популяции хищников.

Увеличение популяции хищников можно считать пропор­циональной произведению собственно количеств жертв и хищников, а коэффициент е характеризует величину роста численности хищников за счет жертв. Тогда для численно­сти хищников можно использовать формулу:

Уп+i = d • у_п + е ■ х_п ■ у_п.

Компьютерная модель. Построим в электронных табли­цах компьютерную модель, позволяющую исследовать чис­ленность популяций с использованием различных моделей: неограниченного роста, ограниченного роста, ограниченного роста с отловом и «хищник-жертва».

Моделирование и формализация

Л\ Рост численности популяций

!	А |	В
1 '	Х1 =	1,50
2,	а=	1,10
3 I	Ь=	0,03
4 ■	с=	0,03
	f=	0,04
	Y1 =	1,00
	d=	0,90
	е=	0,05

1. В ячейки В1 и В6 внести начальные значе­
ния численности популяций жертв и хищ­
ников.

В ячейки В2:В5 внести значения коэффи­циентов а, Ъ, с и /, влияющих на изменение численности жертв. В ячейки В7 и В8 внести значения коэффи­циентов d и е, влияющих на изменение численности хищников.

В столбце D будем вычислять численность популяции в соответствии с моделью неограниченного роста, в столбце Е — ограниченного роста, в столбце F — ограниченного рос­та с отловом, в столбцах G и Н —«хищник-жертва».

2. В ячейки Dl, El, F1 и G1 внести значения начальной чис­
ленности популяций жертв, в ячейку HI — хищников.
В ячейку D2 внести рекуррентную формулу неограничен­
ного роста =$B$2*D1.

В ячейку Е2 внести рекуррентную формулу ограниченно­го роста =($В$2-$В$3*Е1)*Е1.

В ячейку F2 внести рекуррентную формулу ограниченного роста с отловом =($B$2-$B$3*F1)*F1-$B$4. В ячейку G2 внести рекуррентную формулу изменения ко­личества жертв

=($B$2-$B$3*G1)*G1-$B$4-$B$5*G1*H1. В ячейку Н2 внести рекуррентную формулу изменения ко­личества хищников =$B$7*H1+$B$8*G1*H1.

3. Скопировать внесенные формулы в, _D г I р I G I н I
ячейки столбцов командой [Прав- ¹^5 "ТТо ' i~50 1Г50 "i oo
ка-Заполнить-Вниз]. 1 65 1 58 i!ss 1,49 0.98
В ячейках столбцов ознакомиться с 1 82 1 67 1.61 1 49 о 95
динамикой изменения численности 2,оо 1,75 1.66 148 о.93

ПОПУЛЯЦИЙ. ^{220 1}^^{83 1}-71 148 0.90

48 0 88 48 0 86 48 0 83 48 0 81 49 0 79 49 0.77

2.42 1,91 1.77 1

2,66 2,00 1,82 1

2.92 2.08 1,87 1

3,22 2,15 1,92 1

3 54 2,23 1,97 1

3,89 2.30 2.02 1

Для визуализации компьютерной модели построим гра­фики изменения популяций с течением времени.