Оптимизационное моделирование в экономике

В сфере управления сложными системами (например, в экономике) применяется оптимизационное моделирование, в процессе которого осуществляется поиск наиболее оптималь­ного пути развития системы.

Критерием оптимальности могут быть различные пара­метры; например, в экономике можно стремиться к макси­мальному количеству выпускаемой продукции, а можно к ее низкой себестоимости. Оптимальное развитие соответст­вует экстремальному (максимальному или минимальному) значению выбранного целевого параметра.

Развитие сложных систем зависит от множества факто­ров (параметров), следовательно, значение целевого пара­метра зависит от множества параметров. Выражением та­кой зависимости является целевая функция

К = F(X₁,X₂,-..,X_n), где К — значение целевого параметра;

Х₁,Х₂,...,Х_п — параметры, влияющие на развитие систе­мы.

Цель исследования состоит в нахождении экстремума этой функции и определении значений параметров, при ко­торых этот экстремум достигается. Если целевая функция нелинейна, то она имеет экстремумы, которые находятся определенными методами.

Однако часто целевая функция линейна и, соответст­венно, экстремумов не имеет. Задача поиска оптимального режима при линейной зависимости приобретает смысл толь­ко при наличии определенных ограничений на параметры. Если ограничения на параметры (система неравенств) также имеют линейный характер, то такие задачи являются зада­чами линейного программирования. (Термин «линейное про-

Моделирование и формализация

граммирование» в имитационном моделировании понимается как поиск экстремумов линейной функции, на которую нало­жены ограничения.)

Рассмотрим в качестве примера экономического модели­рования поиск вариантов оптимального раскроя листов ма­териала на заготовки определенного размера.

Содержательная постановка проблемы. В ходе производ­ственного процесса из листов материала получают заготовки деталей двух типов А и Б тремя различными способами, при этом количество получаемых заготовок при каждом методе различается.

Таблица 5.2. Способы раскроя заготовок

Тип заготовки	Количество заготовок
Способ 1 раскроя	Способ 2 раскроя	Способ 3 раскроя
А
Б

Необходимо выбрать оптимальное сочетание способов раскроя, для того чтобы получить 500 заготовок первого типа и 300 заготовок второго типа при расходовании наи­меньшего количества листов материала.

Формальная модель. Параметрами, значения которых требуется определить, являются количества листов материа­ла, которые будут раскроены различными спосабами:

Х₁ — количество листов, раскроенное способом 1;

Х₂ — количество листов, раскроенное способом 2;

Х₃ — количество листов, раскроенное способом 3.

Тогда целевая функция, значением которой является ко­личество листов материала, примет вид:

F = Х,+ Х₂ + Х₃. Ограничения определяются значениями требуемых ко­личеств заготовок типа А и Б, тогда с учетом количеств за­готовок, получаемых различными способами, должны вы­полняться два равенства:

10Xj+ ЗХ₂ + 8Х₃ = 500; ЗХ_Х+ 6Х₂ + 4Х₃ = 300. Кроме того, количества листов не могут быть отрицатель­ными, поэтому должны выполняться неравенства: Х_х > 0; Х₂> 0; Х₃ > 0.

Глава 5

Таким образом, необходимо найти удовлетворяющие ограничениям значения параметров, при которых целевая функция принимает минимальное значение.

Компьютерная модель. Будем искать решение задачи пу­тем создания и исследования компьютерной модели в элект­ронных таблицах Excel.

JBj Оптимизационное моделирование

1. Ячейки В2, С2 и D2 выде- i д I в С I D I

лить для хранения значе- ~^~* 'хзГзй'хз

ний параметров XI, Х2 и "^Параметры: О О О

Хз.

4 Целевая функция. А* 6 Ограничения 7 Кол-во заготовок А: О

В ячейку В4 ввести фор­
мулу вычисления целевой
функции: =B2+C2+D2. —

В ячейку В7 ввести фор- JL, Ограничения мулу вычисления количе­ства заготовок Типа А: _8_Кол-во заготовок Б: О =10*В2+ 3*С2 + 8*D2.

В ячейку В8 ввести формулу вычисления количества за­готовок типа Б: =3*В2+ 6*С2 + 4*D2.

Исследование модели. Для поиска оптимального набора значений параметров, который соответствует минимальному значению целевой функции, воспользоваться надстройкой электронных таблиц Поиск решения.

2. Для активизации надстройки ввести команду [Сер­вис-Надстройки...]. На диалоговой панели установить флажок перед элементом списка Поиск решения.

3. Ввести команду [Сервис-Поиск решения...]. На появив­шейся диалоговой панели Поиск решения установить:

• адрес целевой ячейки;

• вариант оптимизации значения целевой ячейки (мак­симизация, минимизация или подбор значения);

• адреса ячеек, значения которых изменяются в процес­се поиска решения (в которых хранятся значения па­раметров);

• ограничения (типа «=» для ячеек, хранящих коли­чество деталей, и типа «>» для параметров).