Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках

6.1. Общая характеристика динамических задач

В предыдущих разделах курса рассматривались задачи, в которых внешняя нагрузка прикладывалась статическим способом, т.е. медленно изменялась во времени так, что возникавшие силы инерции были малы по сравнению с величиной самой нагрузки. В то же время в технике встречается много машин и сооружений, где силы инерции играют существенную, а иногда и определяющую роль. Указанные задачи могут быть разделены на три класса.

К первому классу относятся задачи движения с постоянным ускорением – подъём груза тросом с постоянным ускорением и вращение кольца с постоянной угловой скоростью.

Второй класс составляют задачи о колебаниях упругих систем, причём здесь решаются две проблемы. Одна из них касается определения частоты собственных колебаний системы, знание которой необходимо, чтобы при проектировании избежать резонансного режима. Вторая проблема связана с вычислением напряжений и перемещений, и обеспечения условий прочности и жёсткости.

Третий класс составляют задачи обеспечения прочности при воздействии ударной нагрузки.

6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза

Рис.6.1

В момент подъёма груза имеет место равноускоренное движение с ускорением а, направленным вверх. Сила инерции I будет направлена вниз. Итак, вниз направлены: Р – вес груза; Q = γFx – вес троса, где γ – удельный вес материала; I = ma – сила инерции, где m = (P + Q)/g – масса груза и троса. Все эти силы уравновешиваются динамической внутренней силой в тросе NД (рис.6.1). Эта расчётная схема составлена в соответствии с известным из теоретической механики принципом д’Аламбера (принципом кинетостатики). Согласно этому принципу движущуюся систему можно рассматривать как находящуюся в равновесии, если ко всем точкам её присоединить силу инерции.

.

Динамические напряжения будут равны

(6.1)

Скобка в этом выражении представляет собой динамический коэффициент

, (6.2)

а первая дробь – напряжения при статическом воздействии нагрузки

. (6.3)

В итоге получим формулу для динамических напряжений и условие прочности

. (6.4)

Аналогичная формула будет и для динамических перемещений

. (6.5)

6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью

Такое напряжённое состояние возникает, например, в пустотелом роторе турбины. Если ротор по длине мысленно разделить на кольца, то при достаточной длине соседние кольца не оказывают влияния друг на друга.

При равномерном вращении (ω = const) возникает центростремительное ускорение а и соответствующая центробежная сила.

Рис.6.2

Показанная на рис.6.2 интенсивность распределённой нагрузки q представляет собой силу инерции

, , ,

следовательно,

, (а)

где F – площадь поперечного сечения кольца.

Спроектировав все силы на вертикальную ось у, получим

, (б)

где .

Поскольку , для динамического напряжения согласно (а) и (б) получим

, (6.6)

и соответственно условие прочности

. (6.7)

Следует обратить внимание на одно важное обстоятельство. Формула для напряжений не содержит площади поперечного сечения F, поэтому при невыполнении условия прочности увеличение площади, как это делалось раньше при решении многих задач, не даёт эффекта. Нужны другие меры: уменьшение r, уменьшение ω, что приводит к ухудшению технических характеристик машины.

Другой особенностью формулы (6.6) является то, что в ней невозможно выделить динамический коэффициент, поскольку статические напряжения в состоянии покоя равны нулю.

6.4. Характеристики колебательных процессов

6.4.1. Число степеней свободы

Число независимых координат, определяющих положение системы в пространстве при колебаниях, называется числом степеней свободы.

На рис.6.3 показаны две системы с одной степенью свободы: одна совершает продольные колебания (рис.6.3,а), другая – поперечные (рис.6.3,б). К такой расчётной схеме можно свести задачу, если масса упругой системы мала по сравнению с массой колеблющегося груза (пружина и балка – упругие, невесомые).

а б

Рис.6.3

На рис.6.4 показаны системы с двумя степенями свободы. При рассмотрении поперечных колебаний наглядно видно, что возможны две формы колебаний (рис.6.4,б).

а б

Рис.6.4

Ясно, что, увеличивая число сосредоточенных масс, и, соответственно, число степеней свободы, мы в пределе придём к системе с распределённой массой (рис.6.5), имеющей бесконечное число степеней свободы.

а б

Рис.6.5

6.4.2. Типы сил

Если отклонить от положения равновесия тележку, изображённую на рис.6.3,а, то в результате упругой деформации пружины возникнет сила упругости F = cx, стремящаяся вернуть тележку в положение равновесия (рис.6.6,а). Как только мы перестанем удерживать тележку, за счёт силы F она покатится обратно, пройдёт положение равновесия, сожмёт пружину и снова пойдёт вправо – начнётся колебательный процесс. Таким образом, при колебаниях сила упругости присутствует всегда так же, как и сила инерции.

Колебательный процесс в деталях машин и конструкциях происходит от действия внешней возмущающей силы P(t) (рис.6.6,б). Чаще всего эта сила бывает периодической, но может быть и непериодической.

В любом колебательном процессе кроме упомянутых выше сил действуют ещё и силы сопротивления. В основном это силы внутреннего неупругого сопротивления, зависящие от свойств материала упругого тела (пружины или балки). Очень часто для гашения колебаний используют специальное устройство – амортизатор. Эффект сопротивления наилучшим образом учитывается введением внешней силы, пропорциональной скорости движения сосредоточенной массы (рис.6.6,в).

а б в

F = cx – сила упругости P = P(t) – возмущающая – сила

сила сопротивления

Рис.6.6

6.4.3. Классификация колебаний

Колебательные процессы удобно классифицировать по признаку учёта (или неучёта) действующих сил:

1) свободные незатухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P = 0, R = 0);

2) свободные затухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P = 0, R ≠ 0);

3) вынужденные незатухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P ≠ 0, R = 0);

4) вынужденные затухающие колебания (F ≠ 0, I ≠ 0, P ≠ 0, R ≠ 0).

Полезна также классификация по деформации, испытываемой деталью:

1) продольные (рис.6.3,а и 6.7,а);

2) поперечные или изгибные (рис.6.3,б и 6.7,б);

3) крутильные (рис.6.7,в).

а б в

Рис.6.7

6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы

6.5.1. Поперечные и продольные колебания

Рассмотрим самую простую расчётную схему, в которой действуют лишь сила инерции I и сила упругости F. Эта модель позволяет изучить динамические характеристики многих конструкций.

а б

Рис.6.8

На рис.6.8,а показана консольная невесомая балка с сосредоточенной массой m на свободном конце. Если массу m отклонить от положения равновесия и отпустить, то балка вместе с массой начнёт колебаться. Эти свободные или собственные колебания будут продолжаться вечно, т.к. мы не учитываем силу сопротивления. В реальности колебания быстро затухают.

В произвольный момент времени масса отклоняется от положения равновесия на расстояние υ, при этом на неё действует сила инерции

, (а)

и сила упругости F:

Þ Þ Þ , (б)

где δ₁₁ – прогиб от силы, равной единице, приложенной в точке прикрепления массы. Величину δ₁₁ легко определить методом Мора-Верещагина (см. главу 1).

В соответствии с принципом д’Аламбера запишем уравнение статики:

∑υ = 0; F – I = 0; ,

откуда

. (6.8)

Множитель перед υ есть квадрат частоты свободных колебаний

. (6.9)

Окончательно дифференциальное уравнение свободных колебаний имеет вид:

. (6.10)

То же самое уравнение описывает продольные колебания, только вместо прогиба балки υ надо поставить удлинение стержня ∆ℓ или осадку пружины λ (рис.6.7,а).

Важно определять частоту собственных колебаний ω, чтобы судить о возможности появления резонанса в процессе эксплуатации машины. Из формулы (6.9)

, (6.11)

где c = 1/δ₁₁ – жёсткость упругой системы. Жёсткость – это значение внешней силы, которая вызывает перемещение, равное единице.

Формулу (6.11) можно представить в ином виде, если учесть, что m = P/g и P ∙ δ₁₁ = υ_ст – перемещение от статического приложения силы

, (6.12)

где g – ускорение силы тяжести (g = 9,8 м/с² = 980 см/с²).

Таким образом, определение частоты свободных колебаний сводится к вычислению жёсткости упругой конструкции.

Для рассмотренной нами консольной балки , , размерность ω – 1/с.

Для балки на рис.6.3,б , . В этих формулах Е – в кН/см², J – в см⁴, ℓ – в см и m – в кг.

Для стержня на рис.6.7,а (закон Гука при растяжении), .

Для пружины на рис.6.7,а , , где G – модуль сдвига, r – радиус проволоки, R – радиус винтовой оси, n – число витков пружины.

Теперь запишем решение уравнения (6.10). Оно известно из курса дифференциальных уравнений

, (6.13)

где υ₀ – перемещение в начальный момент времени, – скорость движения в начальный момент времени t = 0. График функции υ представлен на рис.6.8,б.

Уравнение (6.13)можно привести к другому виду, если принять

(6.14)

Подставим (6.14) в (6.13)

.

Окончательно получим следующее уравнение колебаний

. (6.15)

Из уравнения (6.15) и графика на рис.6.8,б следует, что наибольшее отклонение будет при sin (ωt + ν) = 1 и составит υ_max = А. Таким образом, А – амплитуда колебаний, Т – период колебаний, через каждые Т секунд отклонение υ принимает прежнее значение. Очевидно, что ωТ = 2π, откуда число колебаний в 2π секунд равно

.

Найдём амплитуду колебаний, для этого возведём в квадрат и сложим две строки (6.14)

Выражение в скобках равно единице, поэтому

. (6.16)

Начальная фаза колебаний ν может быть найдена, если первую строчку (6.14) поделить на вторую

. (6.17)

Получим выражение для амплитуды колебаний А в иной форме. Подсчитаем первую и вторую производные от функции υ, записанной по формуле (6.15)

.

Подставим функцию и её вторую производную в дифференциальное уравнение (6.8)

,

,

. (в)

Теперь запишем выражение для силы инерции

.

Наибольшая сила инерции при sin (ωt + ν) = 1

I_max = mАω².

Возвращаясь к выражению (в), получаем

А = I_max ∙ δ₁₁. (6.18)

Амплитуда колебаний равна статическому перемещению от наибольшей силы инерции.

6.5.2. Крутильные колебания

Массивный диск закреплён на конце невесомого круглого стержня, происходят угловые перемещения диска (рис.6.9), поэтому эта задача отличается от задачи поперечных и продольных колебаний.

В этом случае удобно применить метод инерционной нагрузки (тот же метод д’Аламбера в иной форме): угол закручивания от силы инерции будет

, (г)

где – крутящий момент от силы инерции,

δ₁₁ – угол закручивания от действия статически приложенного единичного крутящего момента.

Рис.6.9

На площадку dF действует элементарная сила инерции , (д) где S – перемещение площадки dF при повороте диска на угол φ; S = ρ ∙ φ, ; dm – масса площадки dF: (γ – удельный вес). Итак . (е)

Крутящий момент от элементарной силы инерции

. (ж)

Чтобы найти крутящий момент от силы инерции, надо подставить (е) в (ж) и проинтегрировать по площади

, т.к. – полярный момент инерции диска. Известно, что момент инерции массы маховика

. (6.19)

Таким образом

. (з)

Теперь, подставив (3) в (2), получим дифференциальное уравнение крутильных колебаний

,

. (6.20)

Очевидно, что уравнение (6.20) идентично уравнению (6.8), но только частота собственных колебаний подсчитывается несколько иначе

, (6.21)

где

. (6.22)

Здесь G – модуль сдвига, – полярный момент инерции вала . I_m – по формуле (6.19), причём .

6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы

Уточним приведенное в п.6.5.1 приближенное решение за счёт учёта внутреннего неупругого сопротивления. В произвольный момент времени на массу действуют кроме силы инерции и силы упругости

; (а)

и сила сопротивления (рис.6.10,а)

. (б)

а б

Рис.6.10

Уравнение статики

∑ υ = 0; F + R – I = 0. (в)

Подставив (а) и (б) в (в), получим

,

откуда

. (6.23)

Окончательно уравнение свободных колебаний с учётом затухания записывается в виде

, (6.24)

где – коэффициент гашения колебаний,

– квадрат частоты собственных незатухающих колебаний.

Известно решение уравнения (6.24)

, (6.25)

где

. (6.26)

График колебаний (рис.6.10,б), построенный по выражению (6.25), показывает, что собственные колебания быстро затухают. Формула (6.26) даёт значение частоты колебаний с учётом сил сопротивления. Величина n обычно мала по сравнению с ω (для стали, как правило, не превышает 0,2ω), поэтому можно считать, что ω = ω_*.

Для того, чтобы оценить скорость затухания, найдём отношение двух отклонений массы, замеренных через один период Т (рис.6.10,б):

,

откуда

. (6.27)

Величина γ называется логарифмическим декрементом затухания.

Экспериментальное изучение колебаний упругих балок и других конструкций показало полное совпадение теории с экспериментом. Таким образом, частоту собственных колебаний можно определять без учёта затухания.

6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы

6.7.1. Без учёта затухания

Внешняя возмущающая сила чаще всего представляет периодическую (вибрационную) нагрузку, меняющуюся по гармоническому закону с частотой θ

P(t) = P₀sin θt. (а)

Рассматривая упругую консольную балку (рис.6.11), заметим, что в произвольный момент времени на массу действует сила инерции , сила упругости и возмущающая сила P(t). Уравнение статики

∑υ = 0; F – P(t) – I = 0. (б)

Подставляем в (б) выражение для сил

.

Рис.6.11

После переноса P₀sinθt в правую часть и деления на m получаем дифференциальное уравнение

. (6.28)

Интеграл неоднородного дифференциального уравнения (6.28) записывается в виде суммы общего интеграла однородного уравнения (6.15) и частного интеграла, зависящего от вида правой части

. (6.29)

Первое слагаемое этого выражения представляет собой собственные (сопутствующие) колебания, а второе описывает вынужденные колебания. Известно, что собственные колебания быстро затухают (см.рис.6.10,б), поэтому можно считать, что установившиеся вынужденные колебания описываются уравнением

υ = A₁sinθt. (6.30)

Найдём производные

, .

(6.31)

Функцию (6.30) и её вторую производную (6.31) подставим в уравнение (6.28)

.

Теперь можно получить формулу для амплитуды вынужденных колебаний

, , .

Если учесть, что , то получим

. (6.32)

Так как – прогиб от статически приложенной наибольшей возмущающей силы, то выражение для амплитуды вынужденных колебаний запишем в виде

, (6.33)

где β – так называемый коэффициент нарастания колебаний.

. (6.34)

На рис.6.12 представлен график абсолютного значения β. Из этого графика видно, что когда частота вынужденных колебаний θ приближается к частоте собственных колебаний ω, коэффициент нарастания колебаний β и соответственно амплитуда колебаний А₁ стремятся к бесконечности. Это явление называется резонансом.

Рис.6.12

6.7.2. С учётом затухания

Очевидно, что в конструкции амплитуда колебаний не может быть равна бесконечности. Рассчитать амплитуду колебаний и напряжения в балке при резонансе можно только с учётом затухания (сил внутреннего сопротивления) (рис.6.13). Составим уравнение статики ∑υ = 0:

F – I – P(t) + R = 0;

.

Перенесём P₀sinθt в правую часть, поделим на m и окончательно получим

. (6.35)

Не останавливаясь на решении этого уравнения, приведём только формулу для коэффициента нарастания колебаний , (6.36) где n – коэффициент гашения колебаний.

Рис.6.13

Рис.6.14

В момент резонанса при θ = ω

. (6.37)

Из графиков β на рис.6.14 видно, что в момент резонанса коэффициент нарастания колебаний достигает больших значений, хотя и не равен бесконечности. Учитывать затухание имеет смысл только в резонансной области.

Пример. В середине пролёта балки установлен электродвигатель массой m = 400 кг (рис.6.15). Балка изготовлена из двутавра №20: J = 1840 см⁴, W = 184 см³. Ротор двигателя вращается с частотой n = 1500 об/мин. На роторе имеется несбалансированная масса m₀ = 400 г на расстоянии r = 10 см от оси вращения. Проверить прочность балки, если [ σ ] = 12 кН/см².

Круговая частота возмущающей силы равна угловой скорости вращения ротора

.

Рис.6.15

Определяем частоту собственных колебаний балки по формуле (6.11), пренебрегая при этом массой балки. Сначала находим жёсткость балки (см.пункт 6.5.1):

.

Теперь переведём в основную размерность системы СИ: сила должна быть в ньютонах, линейный размер в метрах с = 220,8 ∙ 1000 ∙ 100 = 22,08 ∙ 10⁶ Н/м. Частота собственных колебаний балки

.

Как видим, частоты не совпадают, причём θ < ω – балка работает в благоприятной дорезонансной области, поэтому нет смысла учитывать затухание. Коэффициент нарастания колебаний определяем по формуле (6.34)

.

Далее необходимо найти максимальное значение возмущающей силы

P₀ = m₀θ²r = 0,4 ∙ 157² ∙ 0,1 = 986 Н = 1 кН.

Определим теперь амплитуду колебаний

.

До включения электродвигателя балка прогнулась от статически приложенного веса мотора:

.

Можно сосчитать динамический коэффициент

.

Динамический коэффициент показывает, во сколько раз увеличиваются перемещения и напряжения в балке за счёт вибрации, возникающей при включении электродвигателя.

Теперь определим напряжения. Наибольшее статическое напряжение при неработающем электродвигателе

.

Наибольшее динамическое напряжение при включённом электродвигателе

.

Прочность обеспечена, т.к. [ σ ] = 12 кН/см².

6.8. Критическая частота вращения вала

Из практики эксплуатации машин известно, что вращающиеся валы при некоторых вполне определённых для данной машины частотах вращения попадают в резонанс и становятся динамически неустойчивыми – возникают большие поперечные колебания. Число оборотов, при котором обнаруживается указанное явление резонанса, называется критическим.

Рассмотрим вращение двухопорного вала с диском посередине (рис.6.16,а). Ось вала изогнулась, перемещение центра тяжести диска – υ. При вращении вала центр тяжести диска будет двигаться по окружности радиуса υ, и возникнет центробежная сила

I = θ²mυ, (а)

где θ – частота вращения вала,

m – масса диска.

а б

Рис.6.16

Отклонение вала приводит к появлению силы упругости, стремящейся вернуть вал в недеформированное состояние:

F = cυ, (б)

где с – жёсткость вала на изгиб, в нашем случае .

При I < F вращение вала будет устойчивым. В момент равновесия, когда I = F, прогибы вала могут неограниченно возрастать. Приравнивая значения I и F, находим

, (6.38)

или

. (6.39)

Формула (6.38) это фактически формула (6.11) для определения частоты собственных колебаний. Критическая частота вращения (в оборотах в минуту)

. (6.40)

В практических задачах центр тяжести диска имеет некоторый эксцентриситет е по отношению к оси вращения (рис.6.16,б). Для быстроходных машин обязательно применяется предварительная балансировка ротора с целью уменьшить дисбаланс и избежать больших резонансных колебаний.

При наличии эксцентриситета центробежная сила инерции будет равна

I = θ²m(υ + e). (в)

Сила упругости определяется, как и раньше, равенством (б). Уравнение равновесия будет

θ²m(υ + e) = cυ. (6.41)

После несложных преобразований находим

. (6.42)

При наличии эксцентриситета прогиб вала возникает при любой частоте вращения θ. Когда θ достигает критической частоты вращения (θ = ω) прогиб υ ® ∞.

В реальных динамических системах при наличии значительного демпфирования в опорах и тщательной балансировки удаётся проходить критический режим при разгоне ротора.

В закритическом режиме при θ > ω ® υ < 0, что означает противоположность направлений υ и е. При этом центр тяжести диска расположен ближе к оси вращения, чем точка крепления диска к валу. С увеличением скорости вращения вала прогиб υ уменьшается и приближается к эксцентриситету е, т.е. при очень больших скоростях центр тяжести диска достигает прямой линии, соединяющей опоры, а изогнутый вал вокруг него вращается.

6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы

При расчёте многомассовых систем или систем с распределённой массой всегда возникает задача определения спектра частот собственных колебаний. Для приближённого решения бывает достаточно найти первую минимальную частоту собственных колебаний. В этом случае удобно применить приближённый метод приведения масс. Он заключается в замене системы со многими сосредоточенными массами или с распределённой массой на динамически эквивалентную систему с одной степенью свободы (с одной сосредоточенной приведённой массой). В качестве критерия динамической эквивалентности принимается кинетическая энергия.

Рис.6.17

Дана двухопорная балка с двумя сосредоточенными массами m₁ и m₂ (система с двумя степенями свободы). Необходимо заменить её динамически эквивалентной балкой с сосредоточенной массой в точке К (рис.6.17). Найдём и приравняем кинетические энергии двух балок

.

Отсюда

, (6.43)

где V₁ и V₂ – скорости движения масс m₁ и m₂,

V_К – скорость движения точки К с приведённой массой m_{ПР .}

Пользоваться формулой (6.43) невозможно, поскольку скорости движения неизвестны. Вводится дополнительное упрощение – скорости заменяются единичными перемещениями, вызванными статическим действием единичной силы, приложенной в точке К. Тогда

. (6.44)

Формулу (6.44) можно обобщить на систему с n сосредоточенными массами

. (6.45)

В случае исходной системы с распределённой массой формула (6.45) слегка видоизменяется – суммирование заменяется интегрированием:

, (6.46)

где m_ix – функция изменения массы по длине балки;

δ_ix – функция прогиба от силы Р = 1, приложенной в точке К.

В качестве примера применения формулы (6.46) найдём приведённую массу для консольной балки с равномерно распределённой массой (рис.6.18), . Определим δ_ix с помощью метода начальных параметров, помня о том, что прогиб и угол поворота сечения в заделке равны нулю:

.

.

Рис.6.18

Теперь в соответствии с формулой (6.46)

.

Для некоторых распространённых схем стержней с распределённой массой справочные данные приведены в табл.6.1.

Таблица 6.1

Поперечные колебания	Продольные колебания
		– масса единицы длины

6.10. Расчёт на удар

6.10.1. Продольный и поперечный удар

Удар – это такое взаимодействие движущихся тел, при котором скорости точек этих тел изменяются за весьма малый промежуток времени. Время удара измеряется в тысячных, а иногда и миллионных долях секунды, а сила удара достигает большой величины. Например, удар груза при забивке свай, удар кузнечного молота по металлической заготовке, удар колеса вагона по рельсу при перекатывании через стык, удар автомобиля о неподвижное препятствие или о другой автомобиль при аварии.

При определении напряжений (перемещений) в элементах упругих систем, вызываемых действием ударной нагрузки, в инженерной практике обычно пользуются приближённым энергетическим методом. Согласно этому методу полагают, что при соударении тел уменьшение запаса кинетической энергии равно увеличению потенциальной энергии деформации соударяющихся тел (по закону сохранения энергии).

Вывод расчётных формул проведём на примере простой системы с одной степенью свободы (рис.6.19,а), состоящей из вертикально расположенной невесомой пружины (упругого стержня) с закреплённым на конце грузом Q. Груз Р падает с высоты h. Необходимо найти динамический коэффициент k_Д (σ_Д = k_Д ∙ σ_cm).

Принимаем следующие допущения:

1. В месте падения груза нет пластических деформаций.

2. Удар считаем абсолютно неупругим. В том смысле, что груз Р не отскакивает, а «приклеивается» к грузу Q. Предполагаем, что после соприкосновения два тела соединились в одно, которое, продолжая перемещаться вниз, сжимает пружину.

Если силу Р приложить к системе статически, то перемещение λ_ст (рис.6.19,в) будет определяться равенством

, (а)

где с – жёсткость пружины.

а б в

Рис.6.19

После удара пружина сожмётся на величину λ_Д (рис.6.19,б), которую можно определить через динамическую силу (динамический коэффициент)

. (б)

Скорость падения груза в момент касания

V² = 2gh. (в)

После соприкосновения двух тел их скорости одинаковы и равны V₁. По теореме об изменении количества движения имеем

,

откуда

. (г)

При дальнейшем движении пружина сжимается, а скорость тел постепенно падает. В момент наибольшего сжатия скорость равна нулю, а сила достигает максимума: Р_Д + Q.

По теореме об изменении кинетической энергии

Т₂ – Т₁ = U, (д)

где Т₂ – кинетическая энергия в момент наибольшего сжатия пружины, Т₂ = 0;

Т₁ – кинетическая энергия после удара в начальный момент движения;

U – потенциальная энергия деформации пружины.

Кинетическая энергия системы с учётом равенства (г) определится выражением

. (е)

Потенциальная энергия деформации пружины равна работе всех сил, приложенных к двум движущимся телам на пути λ_Д. Сила тяжести двух тел совершит работу

A₁ = (P + Q)λ_Д. (ж)

Со стороны пружины на тела действует переменная сила. В начале деформации пружины она равна силе веса Q, а в конце – силе (P_Д + Q). График изменения силы сопротивления пружины N показан на рис.6.20. Работа этой силы будет отрицательной, т.к. она действует в сторону, противоположную движению. Численно работа равна площади диаграммы, показанной на рис.6.20

. (з)

Рис.6.20

Таким образом, учитывая равенство (б), найдём

.

Подставляя полученные значения Т₁ и U в равенство (д), получим

.

С учётом равенств (а) и (в) имеем

.

После несложных преобразований получаем квадратное уравнение относительно λ_д

.

Решая это уравнение, можно определить динамическое перемещение

. (6.47)

Знак «–» в этой формуле не соответствует физическому смыслу задачи, поэтому сохраняем знак «+» и записываем в виде

. (6.48)

Выражение в скобках есть формула динамического коэффициента при продольном (поперечном) ударе:

. (6.49)

В рассмотренном случае падения груза на пружину

,

где R – радиус винтовой оси пружины;

n – число витков;

G – модуль сдвига;

r – радиус проволоки.

Применим полученный результат к расчёту стержня, испытывающего ударное сжатие (рис.6.21).

Груз Р падает на стержень (рис.6.21,а), сечение которого представляет собой коробку, сваренную их двух двутавров №20 (рис.6.21,б). Необходимо проверить прочность стержня, принимая допускаемое динамическое напряжение [ σ ] = 14 кН/см².

Сначала найдём статическое напряжение и статическую деформацию стержня (рис.6.21,в)

,

.

а б в г

Рис.6.21

Перед расчётом динамического коэффициента заданный стержень необходимо привести к расчётной схеме на рис.6.19. Приведённый вес стержня в соответствии с табл.6.1 будет

.

Здесь р = 21 кг – вес одного погонного метра двутавра.

Динамический коэффициент находим по формуле (6.49), подставляя λ_ст = ∆ℓ_ст:

.

Наибольшее напряжение при ударе определяется по формуле

σ_max = σ_ст ∙ k_Д. (6.50)

В нашем случае

σ_max = 0,11 ∙ 64,27 = 7,07 кН/см².

При проверке прочности необходимо вспомнить об опасности потери устойчивости стержня. Поэтому найдём коэффициент продольного изгиба φ.

Для сечения (рис.6.21,б) главные оси z и у. Радиусы инерции: i_z = 8,28 см, . (см.рис.6.21,б), .

Гибкость . Из справочника находим

λ	φ	. Интерполируем .
	0,69 0,6

Должно выполняться условие σ_max ≤ φ [ σ ].

У нас σ_max = 7,07 кН/см², φ [ σ ] = 0,663 ∙ 14 = 9,28 кН/см². Условие устойчивости выполняется.

Анализируя расчёт, можно заметить очень большое значение коэффициента k_Д. Это связано с тем обстоятельством, что стальной стержень весьма жёсткий и статическая деформация соответственно малая.

Поэтому самый эффективный способ уменьшить k_Д – увеличить статическое перемещение. Это можно сделать за счёт установки между стержнем и опорой пружины или мягкой податливой прокладки.

Проверим, насколько уменьшится k_Д, если установим резиновую прокладку размером 20´20 см и толщиной 10 см (рис.6.21,г). Перемещение ∆ℓ_П будет

(Е_П = 2 кН/см²).

Общее перемещение

∆ℓ = ∆ℓ_ст + ∆ℓ_П = 0,0014 + 0,075 = 0,0764 см.

Динамический коэффициент

.

Получили снижение k_Д более, чем в шесть раз.

Ещё один способ уменьшения k_Д – увеличить вес стержня Q. Если груз падает на очень массивную конструкцию (Q >> P), то k_Д = 2. С другой стороны, если масса конструкции мала по сравнению с массой падающего груза (Q << P), формула для динамического коэффициента упрощается:

, (6.51)

где δ_ст – перемещение от статического действия силы Р (в стержне – деформация ∆ℓ_ст, в пружине – осадка λ_ст, в балке – прогиб υ_ст).

Рассмотрим случай поперечного (изгибного) удара. Груз Р падает на консоль балки (рис.6.22), сечение которой двутавр №27а (W = 371 см², J = 5010 см⁴). Необходимо проверить прочность балки, [ σ ] = 16 кН/см².

Рис.6.22

Статическое напряжение

.

Статический прогиб найдём методом Мора–Верещагина

.

Динамический коэффициент определим по формуле (6.51) – без учёта массы балки

.

Проверим прочность

σ_max = σ_cm ∙ k_Д = 2,16 ∙ 7,22 = 15,6 кН/см² < [ σ ] = 16 кН/см².

Следовательно, прочность обеспечена.

На практике встречаются случаи продольного удара, когда на основании полученной выше формулы (6.51) динамический коэффициент определить нельзя. К таким случаям относится задача об определении напряжений в канате, поднимающем груз Р с постоянной скоростью V, при внезапном торможении подъёмника (рис.6.23).

Полагая, что кинетическая энергия движущегося груза полностью превращается в потенциальную энергию деформации троса, получили следующее выражение для динамического коэффициента . (6.52)

Рис.6.23

Проиллюстрируем полученный результат примером расчёта. Груз Р = 45 кН поднимается со скоростью V = 1 м/с. В момент внезапной остановки длина троса ℓ = 18 м. Определить напряжение в тросе (рис.6.23). Сечение каната F = 16 см², модуль Юнга Е = 1,05 ∙ 10⁴ кН/см².

Вычислим статическую деформацию каната:

.

Согласно формуле (6.52) коэффициент динамичности

и динамические напряжения

.

6.10.2. Скручивающий удар

В случае ударного кручения (рис.6.24,а) можно из энергетического баланса вывести формулу для определения максимального касательного напряжения, аналогичную формуле (6.50) для нормального напряжения при продольном и поперечном ударе:

τ_max = τ_cm ∙ k_Д, (6.53)

где, как и прежде

.

а б

Рис.6.24

Здесь δ_ст – перемещение точки соударения под действием статически приложенной силы Р (рис.6.24,б). Пренебрегая деформацией кривошипа, δ_ст можно вычислить по формуле

,

т.е.

. (6.54)

В машиностроении ударное кручение чаще всего вызывается не падением тех или иных грузов, а силами инерции масс при больших ускорениях последних. Это имеет место, главным образом, при торможении валов, несущих маховики. Массивный диск диаметром D вращается вместе с валом АВ длиной ℓ с постоянной угловой скоростью ω. При внезапном торможении в сечении А вал испытывает ударное кручение (рис.6.25).

Потенциальная энергия деформации стержня может быть представлена в виде

. (а)

где М_Д – динамический крутящий момент;

φ_Д – соответствующий угол закручивания вала.

Так как

,

то

. (б)

Тогда, подставив (б) в (в), выразим потенциальную энергию деформации через напряжение

. (в)

Рис.6.25

Считаем, что в потенциальную энергию деформации вала превращается вся кинетическая энергия маховика Т₀, т.е.

U_Д = Т₀.

Тогда напряжение при ударном кручении может быть определено по формуле

, (6.55)

где кинетическая энергия маховика

. (6.56)

Полярный момент инерции массы маховика находим по формуле (6.19)

. (г)

Пример. Диск диаметром D = 40 см и толщиной h = 5 см насажен на вал АВ диаметром d = 6 см и длиной l = 100 см. Вал вращается с частотой n = 120 об/мин. Определить наибольшие касательные напряжения в вале в тот момент, когда конец А внезапно останавливается.

Полярный момент инерции диска . По формуле (г) найдём момент инерции массы маховика (удельный вес стали γ = 7,8 г/см³):

.

Угловая скорость вращения вала

.

Кинетическую энергию маховика определим по формуле (6.56)

.

Площадь сечения вала

.

Теперь найдём максимальное касательное напряжение по формуле (6.55)

.

Список литературы

1. Сопротивление материалов / Под ред. А. Ф. Смирнова. – М.: Высшая школа. 1975. – 480 с.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М.: Наука. 1999. – 536 с.

3. Писаренко Г.С., Агарев В.А., Квитка А.Л., Понков В.Т., Уманский Э.С. Сопротивление материалов. – Киев: Вища школа. 1973. – 672 с.

4. Сопротивление материалов: Методические указания к расчётно-графическим работам №1-3. Издание Санкт-Петербургского института машиностроения. – 1992.

5. Сопротивление материалов: Методические указания к расчётно-графическим работам №4-5. Издание Санкт-Петербургского института машиностроения. – 1992

ОГЛАВЛЕНИЕ

Глава 1 Перемещения балок при изгибе 1.1. Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки 1.2. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки 1.3. Метод начальных параметров 1.4. Энергетические теоремы 1.4.1. Понятие о действительном и возможном перемещениях. Работа внешних сил 1.4.2. Потенциальная энергия стержня. Теоремы Кастильяно и Лагранжа 1.5. Метод Мора 1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина Глава 2. Статически неопределимые балки 2.1. Общие понятия 2.2. Расчёт методом сил 2.3. Многопролётные неразрезные балки Глава 3. Сложное сопротивление прямого бруса 3.1. Общие понятия 3.2. Косой изгиб 3.3. Косой изгиб с растяжением (сжатием) 3.4. Внецентренное растяжение (сжатие) 3.5. Изгиб с кручением круглого стержня 3.6. Изгиб с кручением прямоугольного стержня Глава 4. Устойчивость сжатых стержней 4.1. Основные понятия 4.2. Определение критической силы методом Эйлера 4.3. Зависимость критической силы от способа закрепления концов стержня 4.4. Пределы применимости формулы Эйлера. Кривая критических напряжений 4.5. Расчёт на устойчивость по допускаемому напряжению 4.6. Пример расчёта 4.6.1. Определение размеров поперечного сечения 4.6.2. Определение грузоподъёмности 4.7. О выборе материала и рациональных форм поперечных сечений для сжатых стержней Глава 5. Прочность при поворотно-переменных (циклических) напряжениях 5.1. Основные понятия. Механизм разрушения 5.2. Характеристики цикла. Виды циклов 5.3. Экспериментальное определение характеристик сопротивления усталости 5.4. Влияние конструктивно-технических факторов на усталостную прочность 5.4.1. Влияние концентрации напряжений 5.4.2. Влияние абсолютных размеров детали (масштабный фактор) 5.4.3. Влияние состояния поверхности 5.5. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и симметричном цикле 5.6. Расчёт на прочность при линейном напряжённом состоянии и несимметричном цикле 5.7. Расчёт на прочность при плоском напряжённом состоянии Глава 6. Расчёты прочности при динамических нагрузках 6.1. Общая характеристика динамических задач 6.2. Напряжения в тросе при равноускоренном подъёме груза 6.3. Напряжения в тонком кольце при вращении с постоянной скоростью 6.4. Характеристики колебательных процессов 6.4.1. Число степеней свободы 6.4.2. Типы сил 6.4.3. Классификация колебаний 6.5. Свободные незатухающие колебания системы с одной степенью свободы 6.5.1. Поперечные и продольные колебания 6.5.2. Крутильные колебания 6.6. Свободные затухающие колебания системы с одной степенью свободы 6.7. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы при действии периодической возмущающей силы 6.7.1. Без учёта затухания 6.7.2. С учётом затухания 6.8. Критическая частота вращения вала 6.9. Приближённое определение частоты собственных колебаний систем со многими степенями свободы 6.10. Расчёт на удар 6.10.1. Продольный и поперечный удар 6.10.1. Скручивающий удар