Метод Мора

Как видно из приведённого второго примера, использование теоремы Кастильяно иногда приводит к громоздким вычислениям. Несколько упрощает эту процедуру и делает её более прозрачной излагаемый ниже способ Мора.

Поставлена задача: для упругой системы, нагруженной внешней нагрузкой, например, силой P, рис.1.14а, определить перемещение точки C по направлению AB. Это нагружение назовём первым состоянием.

а)

б)

Рис.1.14

В сечении на расстоянии x будут возникать внутренние силы N_p, Q_p, M_p^из, M_p^кр, а элемент длиной dx будет испытывать деформацию растяжения, сдвига, изгиба и кручения

; ; ;

Во втором состоянии приложим в точке C по направлению AB единичную силу . В результате этого нагружения в том же сечении будут возникать внутренние силы, которые обозначим чертой сверху: , , , . Деформации элемента dx будут определяться по аналогичным формулам и т.д.

Воспользуемся теперь теоремой о взаимности возможных работ (1.16): вычислим работу сил второго состояния, , на перемещении, вызванном силами первого состояния, Δ, и сравним с работой сил первого состояния N_p, Q_p и т.д. на перемещениях вызванных силами второго состояния, т.е. на , и т.д. В результате получим

Поскольку , этот сомножитель можно отбросить и тогда интеграл Мора приобретает окончательный вид

(1.25)

Здесь Δ – обобщённое перемещение (либо прогиб , либо угол поворота ). Если определяется линейное перемещение, то в этой точки по заданному направлению следует приложить единичную силу, если угол поворота, необходимо приложить единичный момент . Под знаком интеграла буква l означает интегрирование по всей длине.

Формула (1.25) содержит ряд частных случаев. Например, если рассматривается ферменная конструкция, в которой возникают лишь продольные силы, то

При изгибе достаточно длинных балок основное влияние оказывает изгибающие моменты

(1.26)

Этой формулой и будем пользоваться в дальнейшем. Рассмотрим несколько примеров.

Один из них тот, который был решён с помощью теоремы Кастильяно: определить перемещение .

Формируем I и II состояния. I состояние – это заданное (рис.1.15а). Для II состояния в точке B вдоль координаты y либо вверх, либо вниз прикладываем .

Вычисляем моменты внутренних сил в соответствии с принятым правилом знаков

а)

б)

Рис.1.15

1 участок	2 участок

и подставляем в (1.26)

Полученный результат по абсолютной величине совпадает с решением по теореме Кастильяно. Знак минус свидетельствует о том, что принятое здесь направление единичной силы противоположно перемещению. Если силу с самого начала направить вниз, то результат будет положительным.

1.6. Графический способ вычисления интеграла Мора – способ Верещагина

Упрощение операции интегрирования основано на том, что эпюры от единичных усилий на прямолинейных участках оказываются линейными. Рассмотрим эту процедуру применительно к участку балки. На рис.1.16 сверху показан участок балки с эпюрой М_р общего вида, а внизу эпюра , представляющая линейную функцию. Преобразуем интеграл Мора

(а)

с учётом этой особенности. Как видно из верхнего чертежа, М_рdx = dω, а из нижнего чертежа имеем . Если кроме того считать, что жёсткость EI на протяжении участка постоянна, вместо (а) будем иметь

. (б)

Интеграл представляет собой статический момент площади эпюры М_р относительно оси у. Его можно записать иначе

S_y = ω ∙ x_c,

где ω – площадь этой эпюры М_р;

х_с – координата центра тяжести эпюры М_р.

Рис.1.16

Отметив на нижней эпюре соответствующую ординату и обозначив её буквой m, будем иметь

x_ctg α = m.

В результате подстановки этих выражений в (б) получим

. (в)

Если балка имеет несколько участков по длине, формула Верещагина будет иметь вид

, (1.27)

где ∆ – обобщённое перемещение (либо прогиб υ, либо угол поворота θ);

ω_i – площадь эпюры моментов от внешней нагрузки (грузовой эпюры);

m_i – ордината единичной эпюры под центром тяжести грузовой эпюры;

n – число участков по длине балки.

Если вычисляется прогиб, то к ненагруженной балке в искомой точке по направлению прогиба прикладывается единичная сила и строится эпюра моментов (единичная эпюра). Если вычисляется угол поворота, то в этой точки прикладывается единичный момент .

При пользовании этой формулой надо уметь вычислять площади и координаты центров тяжести основных фигур: прямоугольника, прямолинейного треугольника и криволинейного треугольника. Минимально необходимые справочные данные приведены в табл.1.1. Процедуру графического вычисления называют «перемножением» эпюр.

В случае, если эпюра М_р тоже линейная, операция перемножения обладает свойством коммутативности: безразлично, умножается ли площадь грузовой эпюры на ординату единичной или площадь единичной на ординату грузовой.

Встречающиеся на практике эпюры могут быть, как правило, разбиты на простые фигуры, приведённые в табл.1.1.

Таблица 1.1

Эпюры Мр и	Площадь грузовой опоры	Ордината единичной эпюры

Примечание: параболы – квадратные.

В качестве примера рассмотрим уже рассчитанную балку на рис.1.13. Чтобы построить эпюры М_р и , можно не определять опорные реакции: достаточно сосчитать момент на опоре В от нагрузки на консоли, построить эпюру на консоли, а затем соединить прямой линией значение М на опоре В с нулём на опоре А (рис.1.17).

В соответствии с формулой (1.27)

.

Конечно, результат получился такой же, что и при интегрировании по формуле Мора, но с меньшими затратами труда.

Рис.1.17