Итак, две величины υ и θ являются компонентами перемещения произвольного поперечного сечения балки

Связь между кривизной изогнутой оси и изгибающим моментом была получена при выводе формулы нормальных напряжений при изгибе – см. п.5.4, формула (5.17):

. (1.2)

Известно также из математического анализа уравнение кривизны плоской кривой

. (1.3)

Приравняв правые части формул (1.2) и (1.3), получим дифференциальное уравнение изогнутой оси. Учитывая отмеченную выше малость прогибов и углов наклона касательной, можно пренебречь квадратом первой производной в знаменателе по сравнению с единицей. Тогда получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси

. (1.4)

Знак зависит от направления осей координат. Если ось 0υ направлена вверх, знаки кривизны и изгибающего момента совпадают (рис.1.2), поэтому в уравнении (1.4) берётся знак «+».

Рис. 1.2

Если ось 0υ направлена вниз, то знаки кривизны и изгибающего момента различны, поэтому в правой части уравнения (1.4) берётся знак «–».

Впредь ось 0υ будем всегда направлять вверх; дифференциальное уравнение изогнутой оси имеет следующий вид

. (1.5)

Уравнение (1.5) выведено для случая чистого изгиба (М = const, Q = 0), но используется и для случая поперечного изгиба (Q ¹ 0). Учитывая дифференциальные зависимости и (см. п. 5.2 первой части курса), отметим физический смысл функции υ и её производных:

υ – прогиб в произвольном сечении балки;

– угол поворота произвольного сечения балки;

– изгибающий момент, делённый на жёсткость;

– поперечная сила, делённая на жёсткость;

– интенсивность распределённой нагрузки, делённая на жёсткость.