Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

КРАТКИЙ КУРС СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ

Часть 2

Учебное пособие

Санкт-Петербург 2010

УДК 539.3.8

Эйгенсон С.Н., Корихин Н.В., Шевелёв Л.П. Краткий курс сопротивления материалов. Часть 2: Учеб. пособие – СПб.: Изд-во ПИМаш, 2010. – 149 с.

Написано по материалам лекций, много лет читаемых авторами в Институте машиностроения (заводе – ВТУЗе). В сжатой форме изложены минимально необходимые сведения, соответствующие программе машиностроительных вузов.

Во второй части пособия излагаются следующие разделы курса сопротивления материалов: перемещения балок при изгибе, статически неопределимые балки, сложное сопротивление, устойчивость сжатых стержней, усталость, динамические нагрузки.

Для студентов вузов машиностроительного профиля. Особенно рекомендуется студентам вечерней и заочной форм обучения.

Ил. – 95, табл. – 6, библиогр. – 7 назв.

Рецензенты: д-р техн. наук, проф. В.В.Улитин (СПбГУНТ и ПТ)

д-р техн. наук, проф. И.А.Богов (ПИМаш)

Ó Санкт-Петербургский

институт машиностроения, 2010

Глава 1. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ БАЛОК ПРИ ИЗГИБЕ

Дифференциальное уравнение изогнутой оси балки

Для того чтобы судить о работе балок, недостаточно знать только напряжения, возникающие в сечениях балки от заданной нагрузки.

Напряжения позволяют проверить прочность, однако прочные балки могут оказаться непригодными к эксплуатации из-за недостаточной жёсткости. Для проверки жёсткости балки необходимо научиться определять перемещения отдельных точек её оси.

а б

Рис.1.1

На рис.1.1,а показана балка, заделанная одним концом и нагруженная сосредоточенной силой. В результате изгиба ось становится криволинейной. Точка К перемещается в положение К′. Вертикальная составляющая этого перемещения – υ_max, горизонтальная – u_max, угол наклона касательной – θ_max.

Следует отметить, что υ – это перемещение центра тяжести сечения вдоль оси у, а расстояние произвольной точки поперечного сечения от нейтральной оси z – это у (см. рис.1.1,б).

Подавляющее большинство балок, используемых в технике (валы турбин, электрических машин, мосты и пр.), очень жёсткие. Их наибольший прогиб υ_max не должен превышать 1/400 ¸ 1/1000 длины пролёта ℓ. При этом получается, что горизонтальное перемещение u меньше 1/100 ¸ 1/10000 от υ, поэтому считаем, что u = 0.

При малых прогибах υ угол наклона касательной к оси θ можно определить с помощью выражения

θ @ . (1.1)