Деревья, их характеризации. Остов графа

Дерево — это связный ациклический граф (то есть граф, не содержащий циклов, между любой парой вершин которого существует ровно один путь).[1]

Ориентированное (направленное) дерево — ацикличный орграф (ориентированный граф, не содержащий циклов), в котором только одна вершина имеет нулевую степень захода (в неё не ведут дуги), а все остальные вершины имеют степень захода 1 (в них ведёт ровно по одной дуге). Вершина с нулевой степенью захода называется корнем дерева, вершины с нулевой степенью исхода (из которых не исходит ни одна дуга) называются концевыми вершинами или листьями.[2]

Свойства

Дерево не имеет кратных рёбер и петель.

Любое дерево с n вершинами содержит n − 1 ребро. Более того, конечный связный граф является деревом тогда и только тогда, когда B − P = 1, где B — число вершин, P — число рёбер графа.

Граф является деревом тогда и только тогда, когда любые две различные его вершины можно соединить единственным элементарным путём.

Любое дерево однозначно определяется расстояниями (длиной наименьшей цепи) между его концевыми (степени 1) вершинами.

Любое дерево является двудольным графом. Любое дерево, содержащее счётное количество вершин, является планарным графом.

Для любых трех вершин дерева, пути между парами этих вершин имеют ровно одну общую вершину.

Остовное дерево (остов) — это подграф данного графа, содержащий все его вершины и являющийся деревом. Рёбра графа, не входящие в остов, называются хордами графа относительно остова.