Отображения, сохраняющие порядок. Изоморфизм между частично упорядоченными множествами

Частичный порядок: отношение, в котором одновременно выполняется рефлексивность, антисимметричность и транзитивность, называется отношением частичного порядка.

Линейный порядок: отношение частичного порядка называется отношением линейного порядка, если любые 2 элемента множества Х сравнимы между собой, т.е. для

Упорядоченные множества: Множество Х с заданным на нём частичным (линейным) порядком называется частично (линейно) упорядоченным.

Два частично упорядоченных множества называются изоморфными, если между ними существует изоморфизм, то есть взаимно однозначное соответствие, сохраняющее порядок. (Естественно, что в этом случае они равномощны как множества.) Можно сказать так: биекция называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств А и В, если

Очевидно, что отношение изоморфности рефлексивно (каждое множество изоморфно самому себе), симметрично (если изоморфно, то и наоборот) и транзитивно (два множества, изоморфные третьему, изоморфны между собой). Таким образом, все частично упорядоченные множества разбиваются на классы изоморфных, которые называют порядковыми типами. (Правда, как и с мощностями, тут необходима осторожность - изоморфных множеств слишком много, и потому говорить о порядковых типах как множествах нельзя.)

Теорема

Конечные линейно упорядоченные множества из одинакового числа элементов изоморфны.