Признак Лейбница для знакочередующихся числовых рядов

Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине и стремятся к нулю, когда n–>∞, то: 1) ряд сходится; 2) любой остаток ряда не превосходит по абсолютной величине первого из своих членов и имеет одинаковый с ним знак.

94. Степенные ряды. Ряд вида a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+…, гдеa₀, a₁, a₂, …,a_n, … - некоторая числовая послед-ть, называют степенным рядом.

95. Теорема Абеля. Если степенной ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… сходится при некотором х=х₀, не равном нулю, то он сходится, и притом абсолютно, при всех х, удовлетворяющих условию |х|<|x₀|; Если ряд a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… расходится при некотором х=х₁, то он расходится при всех х, удовлетворяющих условию |х|>|x₁|

96. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Теорема: Для степенного ряда a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+… возможны только три случая: 1) ряд сходится только в единственной точке х=0; 2) ряд сходится для всех значений х; 3) существует такое R>0, что ряд сходится для всех значений х из интервала (-R;R) и расходится для всех значений х вне отрезка [-R;R].

Определение: интервал (-R;R) называют интервалом сходимости ряда a₀+a₁x+a₂x+…+a_nx_n+…, число R –радиусом сходимости этого ряда.

97. Интегрируемость и дифференцируемость суммы степенного рядана интервале сходимости. Пусть ф-ция разлагается на интервале (-R;R) в степенной ряд f(x)=a₀+ a₁x+ a₂x²+..+ a_nxⁿ+..(1)Рассмотрим степенной ряд a₁+ 2a₂x+..+na_nx^n-1+..(2) полученный почленным дифференцированием ряда:

1)ряд (2) имеет тот же радиус сходимости R, что и ряд (1)

2) на всем интервале (-R,R) ф-цияf(x) имеет производную f’(x), которая разлагается в степенной ряд (2)

Следствие: ф-цияf(x), которая разлагается в степенной ряд (1)на интервале (-R,R), бесконечно диф на этом интервале. Разложение в степенной ряд для любой производной получается почленным дифференцированием ряда (1). При этом радиусы сходимости рядов раны радиусу сходимости ряда.

Если ф-цияf(x) разлагается в степенной ряд на интервале (-R,R), то она интегрируема на этом интервале. Интеграл от суммы ряда равен сумме интегралов от членов ряда: ⌠^x2_x1f(x)dx=⌠^x2_x1a₀+ a₁x+ a₂x²+..+ a_nxⁿ+.dx=⌠^x2_x1 a₀+⌠^x2_x1 a₂ x²dx+…⌠^x2_x1 a_nxⁿdx+..

98. Ряды Тейлора (Маклорена). Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+ 1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением

Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f (x) в точке a.

Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена:

99. Достаточное условие разложимости функции в ряд Маклорена. Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех

выполняется условие

при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

100. Разложение в ряд Маклорена функций e^x=1+x+(x²/2!)+(x³/3!)+…+(xⁿ/n!)+…

Sinx=x-(x³/3!)+(x⁵/5!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!)+…

Cosx=1-(x²/2!)+(x⁴/4!)-…+(-1)ⁿ(x²ⁿ/(2n)!)

1/1+x=1-x+x²-x³+…+(-1)ⁿxⁿ+…(r=1)

Ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-x4/4+…+(-1)ⁿ(xⁿ⁺¹/n+1)

(1+x)^b=1+b/1!x+(b(b-1)x²)/2!+…+(b(b-1)…(b-n+1)xⁿ)/n!+…

101. Теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка в нормальной форме. Если в некоторой окрестности точки (х₀;у₀) ф-цияf(x,y) определенная, непрерывна и имеет непрерывную частную производную f’_y, то существует такая окрестность точки (х₀;у₀), в которой задача Коши y’=f(x,y), y(x₀)=y₀имеет решение, притом единственное.

102. Уравнения с разделяющимися переменными. Автономные уравнения. Одним из наиболее простых, но весьма важных типов дифференциальных уравнений являются уравнения с разделяющимися переменными. Это дифференциальные уравнения вида: y’=f(x)g(y), где f(x) и g(y) – непрерывные ф-ции.

Одним из важных частных случаев дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными являются так называемые автономные уравнения. Это уравнения вида: y’=g(y).

103. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение y’+p(x)y=0 называется линейным однородным уравнением, соответствующим уравнению y’+p(x)y=f(x).

104. Уравнения в полных дифференциалах. Диф уравнения в симметрической форме N(x,y)dx+M(x,y)dy=0, где N(x,y) и M(x,y) непрерывные в некоторой области Dф-ции, называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая непрерывно дифф-цияU(x,y), что dU= N(x,y)dx+M(x,y)dy

105. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения Бернулли. Дифференциальное уравнение вида y’+p(x)y=f(x)yⁿ (n≠0, n≠1) называется уравнением Бернулли.

106. Линейные дифференциальные уравнения. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского системы решений Дифференциальное уравнение n-го порядка, называется линейным. Если оно имеет вид yⁿ+a₁xy^n-1+a₂xy^n-2+…+a_nxy=f(x), где a₁x, a₂x, …, a_nx, f(x) – непрерывныеф-ции.

W(y₁, y₂,…,y_k)=|y₁ y₂ …. Y_k|

|y’₁y’₂ …. Y’_k|

|.. …………… |

|y₁^(k-1)y₂^(k-1) …. Y_k^(k-1)|

Систему уравнений y₁(x),…., y_n(x), состоящую из n линейно зависимых решений уравнений L(y)=0, будем называть фундаментальным набором решений этого уравнения.

107. Общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами (для уравнений второго порядка). 1 случай: y=C₁e^λx+C₂е^λx2 случай: у=е^ах(С₁cosβx+C₂sinβx) 3 случай: y=e^λx(C₁+C₂x)

108. Частное решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами с правой частью специального вида. y=x^le^ax(P_m(x)cosbx+Q_m(x)sinbx)

109.