Теорема о производной сложной функции

X→∞

15. Дайте определения односторонних пределов функции в точке

Число А называется правым пределом функции f(x) при х → а, если для любого ξ > 0 существует такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а < х < а + δ, выполняется неравенство | f(x) - А |< ξ.

Число А называется левым пределом функции f(x) при х → а, если для любого ξ > 0 существует такое δ, что для всех х, удовлетворяющих неравенству а - δ < х < а, выполняется неравенство | f(x) - А |< ξ.

16. Функция, непрерывная в точке. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки х₀, называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке х₀ существует и равен значению в этой точке: lim _{х → х0} f(x) = f(x₀).

Функция y = f (x) называется непрерывной в точке х = х₀ , если эта функция определена в какой-либо окрестности точки х₀ и в самой точке х₀, и если бесконечно малому изменению аргумента соответствует бесконечно малое изменение функции.

17. Точка разрыва. Точка х₀ называется точкой разрыва функции f(x), если или не существует.

Разрыв 1 рода (скачок) если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.

Разрыв 2 рода (бесконечный), если в этой точке функция f(x) не имеет по крайней мере одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Разрыв 3 рода (устранимый), если функция не существует в точке х₀ или если значение функции в точке х₀ не совпадает со значением односторонних пределов.

18. определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x₀(∆x=x-x₀). Производной функции в точке x₀ называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение .

19. Определение дифференцируемой функции в точке х. Если функция y = f(x) имеет производную в точке х₀ , то мы говорим, что функция дифференцируема в этой точке.

20. Дифференциалом функции в точке х₀ называется линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в этой точке, эквивалентная всему приращению.

df(х₀)= f ′ (х₀) ∆х; ∆х=dх; df(х₀)= f ′ (х₀) dх

Теорема о производной сложной функции.

. Если функция у=f(x) дифференцируема в точке t0 и g(t0)=x0, то сложная функция y=f(g(x)) также дифференцируема в t0 и выполняется следующая формула: d f(g(t))/dt|t=to=f¢(x0)*g¢(t0) или y¢t=y¢x*x¢t.

22.Теорема о производной обратной функции.

Если функция y=f(x) имеет обратную функцию x=g(y) и в точке х0 производная f¢(x) не равна нулю, то обратная функция g(y) диффернцируема в точке у0=f(x0) и g¢(y0)=1/f(x0) или x¢y=1/y¢x.