Проверка гипотезы об адекватности поверхности отклика

До сих пор при изучении свойств МНК-оценок и при проверке различных гипотез вид функции , определяющий поверхность отклика, предполагался известным. Неизвестными были лишь значения параметров . Однако, такая ситуация имеет место далеко не всегда. Часто вид поверхности отклика постулируется на основании проведения ранее близких по характеру исследований, интуитивных соображений и, главным образом, из соображений простоты математической модели. В таких случаях актуальной становится задача проверки по результатам эксперимента гипотезы об адекватности математической модели, т. е. гипотезы Н₀:

где - заданные функции,

m-заданное число,

-неизвестные параметры.

Пусть по результатам эксперимента получены МНК-оценки параметров . Множество точек , в которых проводилось измерение выходной величины разобьем на к>m групп. Точки , принадлежащие одной группе, теснее примыкают друг к другу, чем к точкам из других групп. В частности в состав одной группы может входить несколько одинаковых точек, если в какой то точке проводится несколько измерений.

Пусть -j-ая по счету точка из i-той группы.

Если в какой либо точке произведено несколько измерений, то она «размножается» в соответствии с числом измерений.

Обозначим через точку, соответствующую «центру тяжести» группы:

здесь N_i-число точек в i-той группе.

Пусть y_ij –измеренные значения выходной величины в точке .

Обозначим через -среднее значение выходной координаты у в точках i-той группы.

Для проверки сформулированной гипотезы Н₀ используется статистика:

Эта статистика подчиняется распределению с числом степеней свободы числителя v₁=k-m и знаменателя v₂=N-k. Числитель в правой части характеризует меру рассеивания экспериментальных данных вокруг «предсказанных» в силу математической модели значений, знаменатель- меру рассеивания экспериментальных данных около своих условных (в рамках группы) средних . Эта мера не зависит от выбранного вида поверхности отклика.

Чем больше числитель, т. е. суммарные отклонения измеренных значений от предсказанных, тем больше статистика v₂. Для заданного значения уровня доверия α находится величина α-квантиля распределения Фишера со степенями свободы k-m и N-k.

Если окажется, что , то гипотеза Н₀ об адекватности математической модели изучаемому явлению отвергается. Если , то нет оснований для отклонения гипотезы Н₀.