Невизначений інтеграл

Ч а с т и н а 5 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ

Відшукання функції за відомою її похідною становить зміст дії інтегрування, а функція називається первісною для функції .

Якщо є первісною для , то і , де С – довільна стала, також є первісною для , тому що .

Загальний вираз сукупності всіх первісних від функції називається невизначеним інтегралом, тобто

, якщо .

Геометричне тлумачення сукупності всіх первісних функцій від , тобто геометричне подання невизначеного інтеграла неведене на рис. 4, на якому видно, що первісна функція до є сукупністю функцій, в якій кожна функція зміщена відносно попередньої на деяку сталу.

Як це випливає з означення невизначеного інтеграла, слід стверджувати, що дії диференціювання функцій та інтегрування функцій є взаємно оберненими. Це означає, що кожний результат інтегрування (первісна функція) може бути підтвердженим: якщо похідна від первісної функції збігається з підінтегральною функцією , то результат інтегрування є вірним.

Невизначений інтеграл має такі властивості.

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює його підінтегральній функції, тобто

,

а диференціал невизначеного інтеграла дорівнює його підінтегральному виразу, тобто

.

2. Сталий множник виноситься за знак (символ) інтеграла, тобто

.

3. Інтеграл від суми функцій дорівнює сумі інтегралів від її доданків,

тобто

,

або в загальному випадку

.

При практичній необхідності розрахунку невизначених інтегралів функцій рекомендується використовувати відомі вирази невизначених інтегралів від елементарних функцій, а оскільки похідна первісної функції є підінтегральною функцією невизначеного інтеграла, то подання первісних функцій невизначених інтегралів елементарних функцій з точки зору їх знання зручно здійснювати поруч із визначеннями їх похідних, що і наведено в табл. 3.

Таблиця 3