Лабораторная работа №2. Изучение законов равно-ускоренного движения на примере машины Атвуда

Цель работы: изучение основных законов кинематики и динамики поступательного движения, проверка законов равноускоренного движения и второго закона Ньютона, учет влияния силы трения, измерение ускорения свободного падения.

Оборудование. Экспериментальная установка «машина Атвуда», набор перегрузков, весы. На стержне установки укреплены три кронштейна: на верхнем и среднем установлены фотоэлектрические датчики Д1 и Д2. На нижнем кронштейне закреплены две металлические платформы с резиновыми амортизаторами. Система грузов удерживается в состоянии покоя при помощи электромагнита. Когда груз один из грузов проходит через верхний датчик Д1, включается секундомер, начинается отсчет времени. При прохождении груза через второй, нижний, датчик Д2 секундомер отключается, а на электронном табло фиксируется время движения. В этот же момент времени электромагнит Э фиксирует блок, и система грузов останавливается. Если установка исправна и правильно установлена, грузы не должны ударяться о платформы. Если это все же происходит, основание установки следует выставить строго горизонтально при помощи уровня, так, чтобы груз проходил через датчик Д2, не задевая его.

Теория эксперимента. У становка «машина Атвуда» позволяет изучать динамику равноускоренного движения при малом ускорении движения. Установка состоит из легкого блока, двигающегося с минимальным трением, перекинутой через блок легкой малорастяжимой нити, на которой подвешены два тела массы m. Если на одно из них положить добавочный груз (перегрузок) массы Δ m, то система начнет двигаться с некоторым ускорением a. Проанализируем движение на основе второго закона Ньютона. Сравним два решения задачи и сделаем оценку: какой должна быть масса перегрузка Δ m, чтобы можно было пренебречь силой трения.

Найдем ускорение, пренебрегая силой трения и массой блока. Пусть первый груз имеет массу (m+Δm), а второй – массу m. Запишем второй закон Ньютона для этих тел:

(1)

где - ускорение груза (m+Δm), - ускорение груза массы m. и - силы упругости, действующие на тела со стороны нитей. Запишем систему (1) в проекциях на оси координат, обозначенные на рис. 10 как y и y’:

(2)

Будем считать, что нить нерастяжима, масса блока равна нулю, а изменением натяжения вдоль нити можно пренебречь, тогда

(3)

(4)

Сложим два уравнения системы (4), получим выражение для ускорения:

. (5)

Из последнего уравнения видно, что если Δ m<<m, то ускорение будет небольшим: a<<g. Увеличивая массу перегрузка Δ m, можно увеличить ускорение системы.

Теперь будем учитывать силу трения и массу блока. Снова применим второй закон Ньютона для (m+Δm) и m. Система уравнений (1) останется в силе, как и система (2). Блок совершает вращательное движение. Уравнение динамики вращательного движения имеет вид:

. (6)

Здесь - момент импульса блока, - сумма моментов внешних сил: сил натяжения нитей и силы трения блока об ось, имеющую радиус r. Проекция момента импульса блока из однородного материала на его ось:

, (7)

где J – момент инерции блока, - проекция угловой скорости на ось вращения. Блок имеет внешний радиус R, внутренний r, поэтому уравнение (6) примет вид:

. (8)

Пусть нить нерастяжима и невесома, и изменением натяжения вдоль нити можно пренебречь, тогда:

. (9)

Линейное ускорение грузов и угловое ускорение блока связаны формулой:

. (10)

Объединим уравнения (2) и (7) и учтем (9), получим систему уравнений:

(11)

Просуммируем первое и второе уравнения, и, с учетом третьего, тогда:

(12)

Если предположить, что сила трения пропорциональна сумме сил давления нитей на блок, а коэффициент трения равен μ, тогда:

. (13)

Из уравнения (12) можно найти ускорение движения грузов:

. (14)

В числителе (14) второе слагаемое является силой трения. Это означает, что если масса перегрузка

, (15)

то система грузов не сдвинется с места. Обычно коэффициент трения качения . Поэтому, грузы смогут прийти в движение при некоторой минимальной массе m₀, когда их массы связаны соотношением:

. (16)

Последнее выражение позволяет оценить трение в блоке. Если Δ m₀=1г, а m=57г, то коэффициент трения качения блока . Обычно берут массу перегрузка, равную десяти массам перегрузка, при котором блок едва начинает вращаться: Δ m=10Δm₀, тогда вторым членом в числителе формулы (14) можно пренебречь. Если масса m лежит в пределах: , то ускорение a приблизительно пропорционально массе перегрузка Δ m. В указанном диапазоне значений Δm силой трения можно пренебречь и применять формулу (5) для расчета ускорения. Пусть начальная скорость движения грузов равна нулю, тогда можно считать, что тела движутся по закону:

. (17)

Расстояние h каждое из них преодолеет за время:

. (18)

Если менять расстояние h между оптическими датчиками, то изменится и время движения t. Ускорение движения грузов a зависит также от массы перегрузка Δ m, поэтому при заданном расстоянии h между датчиками, время движения будет определяться величиной Δ m. В измерениях будет проверяться зависимость времени движения t от массы Δ m и от высоты h.