Погрешности косвенных измерений

Большинство физических величин не удается найти непосредственно в эксперименте. Их определение состоит из двух этапов. Например, необходимо рассчитать величину z, опираясь на полученные опытным путем значения x и y, если между физическими величинами x, y, z существует связь вида:

. (14)

Зависимость между величинами (14) называют уравнением измерения, а подобные измерения называют косвенными.

При косвенном измерении z, кроме значений x и y также могут быть использованы константы и параметры π, с, a, b и т. д. Для величин x и y будут известны не истинные, а лишь средние значения и , рассчитанные на основе экспериментальных наборов (выборок) и . Их используют в расчете наилучшей оценки z:

. (15)

В курсе математического анализа доказывается, что функцию , на которую дополнительно накладываются требования непрерывности, а также непрерывности ее производной, в окрестности точки x можно представить в виде:

. (16)

В случае функции двух переменных эта формула обобщается в виде:

, (17)

где ε и δ любые достаточно малые приращения переменных x и y, а выражения и - так называемые частные производные функции q по переменным x и y. Из формулы (17) найдем приращение функции :

. (18)

Частные производные, также как и отклонения величин x и y, равные, соответственно, ε и δ, могут быть как положительными, так и отрицательными. Поэтому, чтобы слагаемые в правой части (18) не уничтожали друг друга, заменим сумму в (18) суммой квадратов и получим выражение для погрешности косвенной величины q:

. (19)

В последней формуле под величинами ε и δ можно понимать погрешности в измерении величин x и y. Чтобы получить оценку погрешности косвенной величины z, предварительно должны быть рассчитаны погрешности значений прямых величин x и y:

. (20)

С помощью простой операции раскрытия скобок можно убедиться, что если под и понимать случайные погрешности, то по формуле (20) можно рассчитать случайную погрешность косвенных измерений. Если же учесть и систематические погрешности (см. формулу (13)), то получим метод расчета для полной погрешности косвенных измерений.

. (21)

Формула (21) является универсальной для вычисления погрешности косвенных измерений для функции нескольких переменных любого вида. Покажем, как будут рассчитываться погрешности для различных видов уравнений связи (14).

Погрешности в суммах и разностях. Предположим, мы измерили несколько физических величин x, y,…,u, w с погрешностями , ,…, , . Тогда погрешность величины z, рассчитываемой по формуле:

(22)

будет равна:

. (23)

Погрешности в произведениях и частных. Предположим, величины x, y,…, u, w известны с независимыми погрешностями , ,…, , . Тогда погрешность величины

. (24)

будет рассчитываться по формуле

. (25)

Погрешность в степенной функции. В случае степенной функции нескольких переменных

(26)

погрешность можно рассчитать по такой формуле

. (27)