Уравнение определяет первую вариацию функционалаJ*

Поскольку J = J* на траекториях решения уравнения, описывающего поведение системы, то и δJ = δJ*. Если J достигает экстремума, то δJ = 0 для произвольных δu.

5. Учитывается, что фиксировано, тогда δx(t0) = 0. Учитывается также, что – множество ограниченных непрерывных функций, тогда из выражения

получается необходимое условие экстремума в виде следующего уравнения

В своей совокупности уравнения

и

известны как уравнения Эйлера-Лагранжа. Они дают так называемое стационарное решение – необходимое условие минимума функционала потерь.

Достаточное условие экстремума задается на основе определения еще и знака второй вариации , однако часто ограничиваются рассмотрением только первой вариации.

Таким образом, для того, чтобы найти , нужно решить систему уравнений порядка 2m следующего вида: