З одним накопичувачем

Мета роботи:

дослідити перехідні процеси в колах з резистором і котушкою та резистором і конденсатором.

Теоретичні положення

Закони комутації. Існують два закони комутації при кінцевих за величиною впливах в колі.

Перший закон: струм та потокозчеплення в будь-якому індуктивному елементі є безперервною функцією часу і не може змінюватися стрибком:

i_L ()= i_L ()= i_L (0), ψ()=ψ()=ψ(0),

де – момент часу, що безпосередньо передує моменту комутації, – момент часу відразу після миттєвої комутації.

Другий закон: напруга та заряд на будь-якому ємнісному елементі є безперервною функцію часу і не може змінюватися стрибком:

u_C ()= u_C ()= u_C (0), q ()= q ()= q (0).

Таким чином, струми в котушках і напруги на конденсаторах в початковий момент t =0₊ після комутації мають ті ж значення, що і безпосередньо перед комутацією при t = і потім плавно змінюються. Зауважимо, що струми і напруги на резисторах, а також струми в конденсаторах і напруги на котушках можуть змінюватися стрибкоподібно, так як з ними безпосередньо не пов'язана накопичена в колі енергія.

Початкові умови. Значення напруг на конденсаторах і струмів у котушках кола в момент комутації, тобто в початковий момент, утворюють незалежні початкові умови задачі. Незалежні початкові умови визначають початковий запас енергії в колі. Розрізняють режими з нульовими початковими умовами, коли для всіх конденсаторів u_C (0₊)=0 і для всіх котушок і i_L (0₊)=0, і з ненульовими, коли зазначені вимоги порушуються хоча б в одному з реактивних елементів. Незалежні початкові умови можуть бути задані або розраховані з застосуванням законів комутації.

Початкові значення струмів у вітках без котушок індуктивності або напруг на елементах, які не є конденсаторами, називаються залежними початковими умовами. Вони визначаються за незалежними початковими умовами за законами Кірхгофа для електричного кола у момент часу t =0₊.

Підключення та відключення джерела постійної напруги в послідовному RL колі. Схема показана на рис. 11.1. У момент часу t =0 ключ замикається. Після закінчення перехідного процесу ключ розмикається.

Рис. 11.1. Схема електричного кола

Розглянемо підключення котушки до джерела. Еквівалентна схема зображена на рис. 11.2.

Рис. 11.2. Схема електричного кола для підключення котушки до джерела

Початкові умови: до комутації струм і напруги в R ₁ L - колі були рівні нулю, так як ключ розімкнений, отже i ₁(0₊)= i ₁(0_-)=0, тобто маємо нульові початкові умови.

Рівняння Кірхгофа і диференціальне рівняння: при t ³0 для кола після комутації запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

E = u_{R 1}(t)+ u_L (t),

де u_{R 1}(t) і u_L (t) – напруги на резисторі і котушці індуктивності. Виразимо ці напруги через струм i ₁(t) в контурі, використовуючи закон Ома для миттєвих значень u_{R 1}(t)= R ₁ i ₁(t) та . Тоді отримаємо наступне рівняння:

. (11.1)

Отримане рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Диференціальне рівняння має постійні коефіцієнти і є неоднорідним (права частина відмінна від нуля), тому що в колі після комутації є джерело.

Рішення диференціального рівняння відповідно до викладеного вище будемо шукати у вигляді суми примушеної та вільної складових.

i ₁(t) = i _1пр(t) + i _{1 в} (t),

де i _1в(t) - загальне рішення однорідного рівняння (11.1) з правою частиною рівною нулю, а i _1пр(t) = i _1ст(t) – частинне рішення (11.1), яке визначається як усталене значення шуканої змінної в колі після комутації.

Для визначення i _1в(t) запишемо характеристичне рівняння. Для цього в диференціальному рівнянні зробимо заміну і праву частину рівняння (зовнішня ЕРС) прирівняємо нулю. Тоді , pL + R₁ =0 – характеристичне рівняння, а його корінь .

Вільна складова має вираз:

,

де A ₁ – постійна інтегрування; – має розмірність часу і називається постійною часу RL - кола.

Постійні А ₁ і залежатимуть від структури кола і її параметрів.

Як було зазначено вище, вільна складова існує під час перехідного процесу і його визначає. Тому за допомогою постійної часу кола можна оцінити тривалість перехідного процесу. Вважають, що перехідний процес практично закінчується після закінчення проміжку часу рівного (3-4) . Теоретично перехідний процес триває нескінченно довго, тому вільна складова обертається в нуль тільки при t ®¥.

Примушену складову i _1пр(t) визначаємо як стале значення струму в колі. У сталому режимі при t ®¥ у колі встановиться режим постійного струму, при якому напруга на котушці індуктивності для будь-якого моменту часу дорівнює нулю (відповідно до співвідношенню при i ₁(t)=const). Тому в сталому режимі постійного струму котушку можна представити коротким замиканням, а всю схему у вигляді рис. 11.3. З представленої схеми визначаємо .

Рис.11.3. Схема для розрахунку примушеної складової

Повний перехідний струм, дорівнює

(11.2)

Постійну інтегрування А ₁ визначаємо з початкових умов i ₁(0₊)=0. Після комутації струм у колі описується виразом (11.2). Вважаючи в ньому t =0 і прирівнюючи отриманий вираз відомому початковому значенню, отримаємо . Звідси . Остаточне рішення (11.1) приймає вигляд:

.

Графік залежності струму від часу представлений на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Графік залежності

Напруги на резисторі і котушці індуктивності можна визначити по знайденому струму i ₁(t) з використанням відомих співвідношень:

Напруга на резисторі повторює форму струму, а напруга на індуктивності пропорційна похідній від струму і в перший момент після комутації напруга на котушці дорівнює E, тобто змінюється стрибком, тому що до комутації вона дорівнювала нулю. Це не суперечить законам комутації, які виконуються тільки для струмів в котушках і для напруг на конденсаторах.

Розглянемо відключення котушки від джерела. Еквівалентна схема після відключення від джерела наведена рис. 11.5.

Рис. 11.5. Еквівалентна схема після відключення від джерела

Початкові умови:до комутації струми і напруги в R ₁ L - колі були рівні .

При t ³0 для кола після комутації запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

.

Диференціальне рівняння має вигляд:

.

Диференціальне рівняння має постійні коефіцієнти і є однорідним (права частина дорівнює нулю). Рішення диференціального рівняння, відповідно до викладеного вище, будемо шукати у вигляді вільної складової (примущена складова дорівнює нулю).

Характеристичне рівняння має вид: , корінь якого:
.

Рішення будемо шукати у вигляді:

.

Постійну інтегрування А ₂ визначимо з початкових умов: .

.

Повний перехідний струм у колі дорівнює:

.

Заряд від джерела та розряд конденсатора. Розглянемо схему рис.14.,6, в якій конденсатор, заряджається від джерела до напруги Е через резистор R ₃ при замкнутому ключі в момент часу t =0, а потім при розмиканні ключа розряджається на резистори R ₃ та R ₄ до напруги, яка дорівнює нулю.

Рис. 11.6. Схема електричного кола

Заряд конденсатора. Еквівалентна схема зображена на рис. 11.7.

Рис. 11.7. Схема електричного кола для підключення конденсатора до джерела

Початкові умови: до комутації струми і напруги в R ₃ С - колі були рівні нулю. Тому u_C (0₊)= u_C (0_-)=0, тобто маємо нульові початкові умови.

При t ³0 для кола після комутації запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

E = u_{R 3}(t)+ u_C (t).

Виразимо ці напруги через струм i ₂(t) в контурі, використовуючи закон Ома для миттєвих значень u_{R 3}(t)= R ₃ i ₂(t) та . Тоді отримаємо наступне рівняння:

.

Отримане рівняння є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку. Диференціальне рівняння має постійні коефіцієнти і є неоднорідним (права частина відмінна від нуля), тому що в колі після комутації є джерело.

Рішення диференціального рівняння відповідно до викладеного вище будемо шукати у вигляді суми примушеної та вільної складових.

u_C (t) = u_{C пр}(t)+ u_{C в} (t),

де u_{C в}(t) – загальне рішення однорідного рівняння з правою частиною, рівною нулю, а u_{C пр}(t) = u_{C ст}(t) – часткове рішення, яке визначається як усталене значення шуканої змінної в колі після комутації.

Розрахунок рівняння проводимо як у першій задачі. Запишемо характеристичне рівняння:

,

а корінь його:

.

Рішення вільної складової запишемо у вигляді:

,

де А ₃ - постійна інтегрування.

Примушена складова дорівнює усталеному значенню: u_{C пр}(t)= u_C (∞)= E.

Таким чином:

.

Постійну інтегрування А ₃ визначимо з початкових умов:

u_C (0)= 0, , .

Остаточно перехідна напруга на конденсаторі:

.

Струм та напругу на резисторі визначають аналогічно за розрахунком першої задачі.

Розряд конденсатора. Еквівалентна схема зображена на рис. 11.8.

Рис. 11.8. Еквівалентна схема після відключення від джерела

Початкові умови: до комутації напруга на конденсаторі .

При t ³0 для кола після комутації запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

,

звідки:

Диференціальне рівняння має постійні коефіцієнти і є однорідним (права частина дорівнює нулю). Рішення диференціального рівняння, відповідно до викладеного вище, будемо шукати у вигляді вільної складової (примушена складова дорівнює нулю).

Характерестичне рівняння має вид: , а корінь його .

Рішення будемо шукати у вигляді:

.

Постійну інтегрування А ₄ найдемо з початкових умов :

.

Остаточно перехідна напруга на конденсаторі:

.

Напруги на резисторах і струм визначаються аналогічно розглянутій вище першій задачі.

Необхідне обладнання

Джерело постійного струму, джерело змінного струму, електронний комутатор, резистори з набору модулів стенду, змінні конденсатор та котушка з блоків елементів змінної величини.

Електронний комутатор. Конструктивно з джерелами живлення в блоці розміщений електронний комутатор (рис. 11.9). Комутатор є аналогом електромагнітного реле із замикаючим і розмикаючим контактами, що працює в режимі постійного перемикання. Частота перемикань може бути задана рівною 50 Гц або визначатися зовнішнім генератором. При частоті комутації 50 Гц замикаючий контакт реле 50 разів в секунду замикається і розмикається, причому час замкнутого і розімкненого стану однаковий і складає 0,01 секунд.

Рис. 11.9. Електронний комутатор: 1 – тумблер синхронізації; 2 – клема замикаючого контакту; 3 – тумблер мережі живлення; 4 – клема розмикаючого контакту

Комутатор в лабораторних роботах використовується для дослідження перехідних процесів в електричних колах. При цьому, як джерело зовнішньої синхронізації можна використовувати джерело змінного струму стенда. На панелі комутатора знаходяться клеми розмикаючого і замикаючого контактів з відповідним маркуванням (2, 4), тумблер (3) і сигнальна лампа включення живлення, перемикач (1) виду синхронізації («внутренняя» і «внешняя») і вхідні клеми для підключення генератора зовнішньої синхронізації. При положенні тумблера синхронізації «внутренняя» частота перемикання електронного реле – 50 Гц, при положенні «внешняя» – частота комутації визначається частотою сигналу зовнішнього генератора, вихід якого повинен бути підключений до клем «вход внешн. синхр.». На вхід зовнішньої синхронізації слід подавати сигнал від джерела змінного струму типу «меандр» (прямокутної форми) напругою 5-10 В необхідної частоти.

Порядок виконання роботи

1. З таблиці 11.1 вибрати параметри схеми та частоту комутації ключа ƒ відповідно до номера бригади. При частоті комутації ключа 50 Гц використовувати внутрішню синхронізацію комутатора.

Таблиця 11.1

Номер бригади	Схема рис. 11.10	Схема рис. 11.11
R 1, Ом	R 2, Ом	С,мкФ	fk, Гц	R 3, Ом	R 4, Ом	L,мГн	fk, Гц
			0,5
			0,6
			1,0
			1,2
			1,5

2. За допомогою цифрового мультиметра уточнити величини резисторів R ₁ і R ₂: R ₁=__________ Ом; R ₂=__________ Ом.

3. Зібрати схему за рис. 11.10. В якості конденсатора використати блок змінної ємності.

Рис. 11.10. Схема електричного кола

Напруга U подається від регульованого джерела постійної напруги величиною 10÷20 В.

4. Дослідити перехідний процес у колі, спостерігаючи осцилограми напруги u_C (t) на конденсаторі та напруги u_{R 1}(t) на резисторі R ₁. Скопіювати осцилограми u_C (t) та u_{R 1}(t) у режимах заряду і розряду конденсатора. Осцилограма напруги на резисторі R ₁ повторює у масштабі осцилограму струму i_C (t).

5. За допомогою цифрового мультиметра уточнити величини резисторів R ₃, R ₄, зазначених у заданому варіанті: R ₃=__________ Ом; R ₄=__________ Ом.

6. Зібрати схему по рис.11.11.

Рис. 11.11 Схема електричного кола

В якості котушку використати блок змінної індуктивності. При розрахунках необхідно врахувати активний опір котушки, який треба вимірити за допомогою цифрового мультиметра R _К=__________ Ом.

7. Дослідити перехідний процес, спостерігаючи осцилограми напруги u _К(t) на котушці та напруги u_{R 3}(t) на резисторі R ₃. Скопіювати осцилограми u _К(t) та u_{R 3}(t) у режимах замикання і розмикання ключа. Осцилограма напруги на резисторі R ₃ повторює у масштабі осцилограму струму і _К(t).

Оформлення звіту

Правила оформлення звіту дивись у додатку А.

8. За відомими параметрами елементів схеми рис. 11.10 розрахувати перехідний процес заряду та розряду конденсатора. Визначити i _С(0), i _С(t ₁), u _С(t ₁), де t ₁=______ мс – будь-яке значення часу у проміжку рівного (1-2) . Результати занести в табл. 11.2 і порівняти з експериментальними.

Таблиця 11.2

Величина	Експеримент	Розрахунок
заряд	розряд	заряд	розряд
iC (0), А
i С(t 1), А
u C(t 1), В

9. За результатами п. 7 визначити u _К(0), і _К(t ₁) аналогічно п. 8. Результати занести в табл. 11.3.

Таблиця 11.3

Величина	Експеримент	Розрахунок
заряд	розряд	заряд	розряд
u К(0), В
і К(t 1), А
u К(t 1), В

10. У звіті привести заповнені таблиці 11.2 і 11.3, отримані осцилограми та розрахунки перехідних процесів для обох схем.

11. Зробити висновки з виконаної роботи.

Запитання для самоконтролю:

1. Що таке перехідний процес?

2. Що таке незалежні початкові умови?

3. Що таке сталий режим?

4. Сформулюйте закон комутації для конденсатора.

5. Сформулюйте закон комутації для котушки.

6. Що таке характеристичне рівняння?

7. З яких складових складається рішення неоднорідного диференціального рівняння?

8. Що таке вільна складова перехідного процесу?

9. Що таке вимушена складова перехідного процесу?

10. Що таке постійна часу перехідного процесу?

Лабораторна робота № 12

ДОСЛІДЖЕННЯ ПЕРЕХІДНИХ ПРОЦЕСІВ У ЛІНІЙНИХ КОЛАХ,