Применение теорем об эквивалентных бесконечно малых при вычислении пределов и таблицы эквивалентностей

Пусть и . Если , то и называются эквивалентными бесконечно малыми в точке . Это обозначается как при .

Теорема 1. Если , при , то при .

Теорема 2. Если , при , то

Теорема 3. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой низшего порядка. Иначе: пусть – бесконечно малая низшего порядка по сравнению с , , тогда .

Теорема 4. Если , при , причем существует и отличен от –1, то при .

Таблица эквивалентностей.

Пусть – бесконечно малая при , то есть . Тогда

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. .

Все приведенные выше формулы справедливы при . Рассмотрим примеры на вычисление пределов с помощью теорем об эквивалентных бесконечно малых и таблицы эквивалентностей.

Пример 10. Вычислить

а) б) в)

Решение.

При вычислении этого предела применили теоремы 2 и 5 и табличные эквивалентности 1) и 7).

б) Имеем неопределенность .

Применим эквивалентность , так как . Но нельзя считать, что , поскольку при . Поэтому сделаем замену переменной при . Тогда имеем:

Использовали формулы приведения , табличные эквивалентности 1) и 11) и теорему 1: , так как .

в) В данном случае также имеем неопределенность .

Сделаем замену при .

Получаем

Применили эквивалентности 1) и 6).

Ответ: а) б) в)

Пример 11. Вычислить .

Решение. Так как при , то

Ответ: