Замена переменных при вычислении пределов, использование непрерывности функции при вычислении пределов

а) Правило замены переменной для непрерывной функции.

По определению непрерывности функции в точке ,

Если дана сложная функция , функция имеет предел в точке и функция непрерывна в точке , то

.

То есть при вычислении предела непрерывной функции можно перейти к пределу под знаком функции. Например, в силу непрерывности основных элементарных функций справедливы равенства:

если – непрерывные функции и т. д.

Пример 5. Вычислить

б) Правило замены переменной для пределов функций в общем виде.

Пусть существуют пределы и и при . Тогда при существует предел сложной функции и .

Это правило полезно при вычислении предела в том случае, когда вычислить трудно. Полагают и находят предел при условии, что этот предел вычисляется проще первоначального.

Пример 6. Вычислить .

Решение. Сделаем замену переменной , тогда

.