Применение замечательных пределов при вычислении пределов функций

Предел называется первым замечательным пределом (раскрывает неопределенность ).

Если функция такова, что , то .Этот предел имеет важное значение при раскрытии неопределенности .

Пример 7. Вычислить

а) ; б) .

Решение. а) Имеем неопределенность .

б) .

Так как стремится не к 0, а к , то сделаем замену переменной . При при , а .

Имеем

Второй замечательный предел имеет вид

или

, где е=2,71826…– иррациональное и трансцендентное число. Если , то . Если , то .

С помощью второго замечательного предела раскрывается неопределенность , то есть ищутся пределы показательно- степенных функций , где .

Предположим, что в окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки . Применяя формулу второго замечательного предела и возможность перехода к пределу отдельно в основании и показателе степени, получаем:

Пример 8. Вычислить .

Решение.

в окрестности за исключением точки .

Применяя вышеуказанные преобразования, получим

В процессе вычисления предела получили

Вычисляем

Следовательно, и .

Ответ:

Пример 9.Вычислить

Решение. Имеем

При вычислении этого предела аналогично используем второй замечательный предел