Аналитическая геометрия

Лекция № 8. Тема 1: Линии на плоскости и их уравнения

1.1. Линии и их уравнения в декартовой системе координат

В аналитической геометрии линии на плоскости рассматриваются как геометрическое место точек (г.м.т.), обладающих одинаковым свойством, общим для всех точек линии.

Определение. Уравнение линии – это уравнение с двумя переменными х и у, которому удовлетворяют координаты любой точки линии и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей на данной линии.

Верно и обратное, т.е. любое уравнение у

вида , вообще говоря, в декартовой

системе координат (ДСК) определяет линию

как г.м.т., координаты которых удовлетворяют

этому уравнению. О х

Замечание 1. Не всякое уравнение вида определяет линию. Например, для уравнения не существует точек, координаты, которых удовлетворяли бы этому уравнению. Такие случаи в дальнейшем рассматривать не будем. Это случай так называемых мнимых линий.

Пример 1. Составить уравнение окружности радиуса R с центром в точке .

Для любой точки , лежащей у М

на окружности, в силу определения R

окружности как г.м.т., равноудаленных

от точки , получаем уравнение х

.

1.2. Параметрические уравнения линий

Существует ещё один способ задавать линию на плоскости при помощи уравнений, которые называются параметрическими:

Замечание 2. Отметим, что параметром t в механике является время.

Пример 1. Линия задана параметрическими уравнениями

Требуется получить уравнение этой линии в ДСК.

Исключим параметр t. Для этого возведём обе части этих уравнений в квадрат и сложим

Пример 2. Линия задана параметрическими уравнениями

а

Требуется получить уравнение

этой линии в ДСК. - а а

Поступим аналогично, тогда получим

- а

1.3. Уравнение линии в полярной системе координат

ДСК является не единственным способом определять положение точки и, следовательно, задавать уравнение линии. На плоскости часто целесо-образно использовать так называемую полярную систему координат (ПСК).

ПСК будет определена, если задать точку О – полюс и луч ОР, исхо-дящий из этой точки, который называется полярной осью. Тогда положение любой точки определяется двумя числами: полярным радиусом и полярным углом – угол между

полярной осью и полярным радиусом.

Положительное направление отсчета

полярного угла от полярной оси

считается против часовой стрелки.

Для всех точек плоскости , О Р

а для однозначности полярного угла считается .

Если начало ДСК совместить с

полюсом, а ось О х направить по

полярной оси, то легко убедиться у

в связи между полярными и

декартовыми координатами:

О х Р

Обратно,

(1)

Если уравнение линии в ДСК имеет вид , то в ПСК - Тогда из этого уравнения можно получить урав-нение в виде

Пример 3. Составить уравнение окружности в ПСК, если центр окружности находится в полюсе.

Используя формулы перехода (1) от ДСК к ПСК, получим

Пример 4. Составить уравнение окружности,

если полюс на окружности, а полярная ось у

проходит через диаметр.

Поступим аналогично 2 R х

О R

Данное уравнение можно получить и

из геометрических представлений (см. рис.).

Пример 5. Построить график линии

Перейдём к ПСК. Уравнение

примет вид О

График линии построим с а

учётом его симметрии и ОДЗ

функции:

Данная линия называется лемнискатой Бернулли.

1.4. Преобразование системы координат.

Уравнение линии в новой системе координат

1. Параллельный перенос ДСК. у

Рассмотрим две ДСК, имеющие М

одинаковое направление осей, но

различные начала координат.

В системе координат О ху точка

относительно системы О х

имеет координаты . Тогда

и

В координатной форме полученное векторное равенство имеет вид

или . (2)

Формулы (2) представляют собой формулы перехода от “старой“ системы координат О ху к “новой“ системе координат и наоборот.

Пример 5. Получить уравнение окружности выполнив параллельный перенос системы координат в центр окружности.

Из формул (2) следует у

2. Поворот системы координат. М

Рассмотрим две системы координат

с общим началом, но с различными

направлениями осей. В системе коор-

динат О ху вектор , О х

а в системе координат вектор

.

Разложим векторы по базису :

Тогда имеем ,

откуда, переходя к координатной форме, получим формулы перехода

(3) (4)

Формулы (3) представляют собой переход от “старой“ системы координат О ху к “новой“ системе , а формулы (4) – наоборот.

Пример 6. Составить уравнение гиперболы при повороте системы координат на угол .

Используя формулы (3), получаем

или (каноническое уравнение гиперболы).

3. Общий случай: поворот вместе с параллельным переносом осущест-вляется согласно формулам (2) и (3):

(5)

Для того, чтобы получить уравнение линии в новой системе координат, необходимо в это уравнение подставить формулы (5).

Лекция № 9. Тема 2: Прямая линия на плоскости

2.1. Уравнения прямой линии

Теорема. В ДСК на плоскости каждая прямая линия может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое уравнение вида в ДСК определяет на плоскости прямую линию.

Пусть – нормальный вектор у

прямой (вектор перпендикулярный прямой)

и точка принадлежит данной

прямой. Если - текущая точка

прямой, тогда для всех точек

прямой выполняется равенство О х

(1)

Уравнение (1) является уравнением первой степени.

Обратно. Пусть дано линейное уравнение и пусть точка принадлежит линии, которая определена этим уравнением. Тогда получаем равенства:

Вычитая их последовательно, имеем

Если ввести обозначение – нормальный вектор, то полученное уравнение (1) будет определять прямую линию. После раскрытия скобок получаем уравнение которое называется общим уравне-нием прямой.

Замечание 1. Из доказательства теоремы следует, что вектор является нормальным вектором прямой. у

Кроме того, прямая может быть

определена, если будет задана точка

, принадлежащая прямой

и вектор , которому она

параллельна (направляющий вектор). О х

Пусть точка - текущая точка прямой. Из коллинеарности векторов и следует равенство

(2)

Уравнение (2) называется векторным параметрическим уравнением прямой. Переходя к координатной форме, получим

(3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой. Если исключить из них параметр t, то приходим к уравнению прямой с угловымкоэффициентом (или приведенное уравнение прямой)

(4)

y

который образует прямая с осью О х; b

прямой на оси О у. O x

Замечание 2. Если прямая параллельна оси О у, то её уравнение имеет вид х = х ₀ (в этом случае т = 0). Если – оси О х, то у = у ₀ (п = 0).

2.2. Угол между двумя прямыми

Пусть заданы уравнения двух прямых (общее и приведенное)

или у

Очевидно, что угол между

этими прямыми равен углу между

их нормальными векторами х

и . Поэтому получим

(см. лекцию 6)

(5)

Формуле (5) можно придать другой вид – через угловые коэффициенты, если считать угол острым и воспользоваться известной формулой из тригонометрии

(6)

Из формул (5-6) следуют условия параллельности и перпендикуляр-ности прямых:

1. Если прямые параллельны, то векторы коллинеарны, и тогда получаем или

2. Если прямые перпендикулярны, то их нормальные векторы также перпендикулярны, и тогда или .

2.3. Взаимное расположение двух прямых

Совместное решение уравнений прямых даёт точку пересечения этих прямых, т.е.

(7)

Тогда, если определитель системы (7)

,

то прямые имеют точку пересечения. Если же , т.е. , то прямые параллельны, и здесь возможны два случая:

- прямые параллельны и не имеют общей точки;

- прямые совпадают.

2.4. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть даны две точки у М

и Тогда, если -

текущая точка прямой, то из условия М ₂

коллинеарности векторов и

имеем О М ₁ х

(8)

Уравнение (8) – искомое уравнение прямой.

2.5. Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым коэффициентом

Пусть задана точка и угловой коэффициент k. Требуется составить уравнение прямой для данных условий. Так как угловой коэффициент задан, то уравнение будем искать в виде . Коэффициент b определим из условия прохождения прямой через данную точку. Тогда имеем

(9)

Пример 1. Составить уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно прямой

Из условия перпендикулярности прямых находим угловой коэффициент k = -3, а по формуле (9) получаем

.

2.6. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая задана общим y M ₀

уравнением и

требуется определить расстояние

от этой прямой до заданной M d

точки .

Из рисунка следует O x

(10)

Пример 2. Найти расстояние от прямой до точки

По формуле (10) получаем

Задача. Даны две вершины у

и точка - пересечения C

высот треугольника. Составить уравнения А 3 D

его сторон.

Составим уравнение стороны АВ, -3 5

как прямой, проходящей через две точки, O B x

Аналогично уравнение высоты ВD (через две точки) будет иметь вид

Составим уравнение стороны AC, перпендикулярной ВD. Тогда

Уравнение высоты AD (через две точки):

Лекция № 10. Тема 3: Линии второго порядка

Пусть в некоторой ДСК задана линия, определяемая уравнением второй степени

(1)

где коэффициенты одновременно не равны нулю. Эта линия назы-вается кривой или линией второго порядка.

Может случиться, что нет точек с действительными коорди-натами, удовлетворяющими уравнению (1). В этом случае считают, что уравнение (1) определяет мнимую линию второго порядка. Например, - это уравнение мнимой окружности.

Рассмотрим три важных частных случаев уравнения (1).

3.1. Эллипс

Эллипс определяется уравнением

(2)

Т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно большой и малой полуосями, а уравнение (2) – каноническим уравнением эллипса.

Положим и отметим на оси О х точки называемые фокусами эллипса. Тогда эллипс можно опреде-лить как

геометрическое место точек, сумма расстояний от которых до фокусов есть величина постоянная, равная 2 а.

у

b

M K

- а F ₁ O F ₂ a x

- b

Покажем это. Пусть точка - текущая точка эллипса. В этом случае получаем Тогда должно выполняться равенство

(3)

Выражение (3) представим в виде

и возведём в квадрат обе части выражения

Отсюда получаем

Еще раз возведём это выражение в квадрат и воспользуемся соотно-шением , тогда

(4)

Разделив обе части выражения (4) на , окончательно получаем каноническое уравнение эллипса

Исследуем уравнение (2). Если в уравнении заменить , то уравнение (2) не изменится. Это означает, что эллипс симметричен относительно координатных осей. Поэтому рассмотрим подробно часть эллипса, находящуюся в первой четверти. Она определяется уравнением Очевидно, что эллипс проходит через точки . Выполнив схематическое построение в первой четверти, симметрично отобразим его график во все четверти. Таким образом, эллипс является непрерывной замкнутой кривой. Точки называются вершинами эллипса.

Отношение называется эксцентриситетом эллипса. Для эллипса .

Прямые называются директрисами эллипса.

Справедливо следующее свойство директрис:

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Доказывается аналогично, как и равенство (3):

Подставив получим

или

Замечание 1. Окружность является частным случаем эллипса. Для неё

3.2. Гипербола

Каноническое уравнение гиперболы имеет вид

т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициенты а и b называются соответственно вещественной и мнимой полуосями.

Положив , отметим на оси О х точки называемые фокусами гиперболы. Тогда гиперболу можно определить как

геометрическое место точек, разность расстояний от которых до фокусов по абсолютной величине равна 2 а, т.е.

у

К М

F ₁ - а О а F ₂ х

Доказывается аналогично, как и для эллипса. По виду уравнения гиперболы так же заключаем, что её график симметричен относительно осей системы координат. Часть гиперболы, лежащая в первой четверти, имеет уравнение Из этого уравнения видно, что при достаточно больших х гипербола близка к прямой . После схематичного построения в первой четверти симметрично отобра-жаем график во все четверти.

Точки называются вершинами гиперболы. Прямые называются асимптотами – это прямые, к которым стремятся ветви гиперболы, не пересекая их.

Отношение называется эксцентриситетом гиперболы. Для гиперболы .

Прямые называются директрисами гиперболы. Для директрис гиперболы имеет место свойство, аналогичное, как и для директрис эллипса.

Отношение расстояний от фокуса и директрисы для точек эллипса есть величина постоянная, равная эксцентриситету, т.е.

Пример 1. Найти уравнение эллипса, вершины которого находятся в фокусах, а фокусы в вершинах гиперболы .

Разделим обе части уравнения гиперболы на 144 и перейдем к каноническому виду

По условию а

Окончательно получаем

3.3. Парабола

Парабола определяется каноническим уравнением т.е. в уравнении (1) нужно положить

Коэффициент р называется К у

фокальным параметром. М

Отметим на оси О х точку

называемую фокусом

параболы и проведём прямую, О F х

, называемую директрисой.

Тогда парабола может быть также определена как

геометрическое место точек, равноудалённых от фокуса и директрисы .

Действительно, для произвольной точки параболы имеем

и

откуда и следует искомое равенство

3.4. Классификация линий второго порядка

В математике доказывается следующая

Теорема. Любое уравнение вида (1), если не рассматривать случай “мнимых“ линий, путём преобразования системы координат можно привести к одному из следующих видов:

1) - эллипс;

2) - гипербола;

3) - парабола;

4) - пара пересекающихся прямых;

5) - пара параллельных прямых;

6) - пара совпадающих прямых;

7) - точка.

Линии второго порядка классифицируются и по значению эксцентри-ситета:

- эллипс;

- парабола;

- гипербола.

Лекция № 11. Тема 4: Плоскость

4.1. Уравнение плоскости

Теорема. В ДСК в пространстве каждая плоскость может быть задана линейным уравнением и наоборот, т.е. любое линейное уравнение в ДСК в пространстве определяет плоскость.

Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказательству теоремы о прямой линии в ДСК на плоскости.

Уравнение называется общим уравнением плоскости.

Замечание 1. Аналогично следует, что вектор является нор-мальным вектором плоскости.

Пример 1. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости О yz.

Поскольку в этом случае , то уравнение искомой плоскости будет иметь следующий вид .

Удобно и наглядно строить плоскость по её следам на координатных плоскостях, которые определяются из следующих систем уравнений:

Пример 2. Построить z

плоскость, заданную общим

уравнением

Определим координаты 0 2 y

точек пересечения с осями 1

координат: (1, 0, 0), (0, 2, 0)

и (0, 0, -2) и соединим эти x -2

точки отрезками.

Замечание 2. По следам плоскость удобно строить, представив уравнение плоскости в виде

Это уравнение называется уравнением плоскости в отрезках, так как - отрезки, отсекаемые плоскостью на координатных осях.

4.2. Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку, перпендикулярно заданному вектору

Пусть требуется составить уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Пусть точка - текущая точка плоскости.

Тогда вектор , лежащий на плоскости, перпендикулярен вектору и из условия перпендикулярности получаем

(1)

Уравнение (1) является искомым уравнением плоскости.

Пример 3. Составить уравнение плоскости, проходящей через ось

В этом случае вектор нормали к плоскости а в качестве точки выберем начало координат. Тогда из уравнения (1) имеем

4.3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Требуется составить уравнение плоскости, проходящей через три точки

Пусть точка - текущая

точка плоскости. Построим векторы

. Они компланарны,

т.е. их смешанное произведение

или

(2)

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через начало координат и точки

Из уравнения (2) получим

4.4. Угол между двумя плоскостями

Пусть две плоскости заданы общими уравнениями

Очевидно, что угол между двумя

плоскостями равен углу между их

нормальными векторами.

Из этого следует

(3)

Если плоскости перпендикулярны, то

Если плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарны и тогда условие параллельности принимает вид

Пример 5. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и

По формуле (3) получаем

т.е. данные плоскости перпендикулярны.

4.5. Расстояние от точки до плоскости

Требуется найти расстояние от плоскости до точки . М ₀

Рассуждая аналогично, как и

для случая прямой на плоскости, d

получаем М

или

(4)

Пример 6. Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости и отстоящей от неё на расстояние

Уравнение искомой плоскости в силу условия параллельности имеет вид Возьмём любую точку, принадлежащую плоскости, например, точку . Тогда, используя формулу (4), получим

или

т.е. и тогда получаем две плоскости, удовлетворяющие условию задачи,

Тема 5: Прямая в пространстве

5.1. Уравнения прямой

Как известно, одним из способов задания прямой является пересечение двух непараллельных плоскостей, т.е. прямая l определяется системой уравнений

(5)

Кроме того, прямая l будет определена,

если задать точку , принадлежащую М

прямой и вектор , которому эта

прямая параллельна. Такой вектор называется М ₀

направляющим вектором. l

Пусть точка - текущая точка прямой, тогда из условия коллинеарности двух векторов и получаем

(6)

Если обозначить равные отношения в формуле (6) через t, то получим

(7)

Уравнения прямой вида (5)-(7) называются соответственно общими, каноническими и параметрическими. Между этими уравнениями существует определённая связь. Переход от уравнений (6) к уравнениям (7) уже рассмотрен. Пусть требуется перейти от уравнений (6) к уравнениям (5). Уравнения (6) эквивалентны системе

(8)

Система линейных уравнений (8) и определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей. Для перехода от уравнений (5) к (6) необходимо найти из системы (5) координаты любой точки М ₀, принад-лежащей прямой, а за направляющий вектор взять вектор .

Пример 7. Прямая задана общими уравнениями

Требуется получить каноническое и параметрические уравнения.

Полагая в системе , находим

Выпишем нормальные векторы и найдём их векторное произведение

Тогда каноническое уравнение прямой имеет вид

и параметрические уравнения

Лекция № 12.

5.2. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть требуется составить уравнение прямой, проходящей через две точки и . Возьмём в качестве направляющего вектора , а за начальную точку любую из точек М ₁ и М ₂, например, М ₁. Тогда уравнение искомой прямой примет вид

(1)

5.3. Угол между двумя прямыми

Очевидно, что углом между двумя прямыми можно считать угол между их направляющими векторами и . Тогда

(2)

Если прямые параллельны, то их направляющие векторы коллинеарны и условие параллельности принимает вид

Если прямые перпендикулярны, то перпендикулярны их направляющие векторы и условие перпендикулярности из формулы (2) примет вид

Пример 1. Две прямые и проходят через начало координат. При этом точки . При каком значении пара-метра р они перпендикулярны?

В качестве первой точки (см. формулу (1)) возьмём начало координат , тогда направляющие векторы будут равны , и из условия перпендикулярности получаем

5.4. Расстояние от точки до прямой

Пусть требуется найти расстояние от точки до прямой l, заданной каноническим уравнением

Построим вектор . z M ₁

Расстояние d от точки M ₁ до

Прямой l равно высоте параллело- M ₀ d

грамма, построенного на векторах у

и .

Так как площадь параллелограмма х l

или ,

то получим

(3)

Пример 2. Найти расстояние от точки до прямой

Здесь И тогда имеем

5.5. Угол между прямой и плоскостью

Пусть плоскость P и прямая l заданы соответственно уравнениями:

Здесь - нормальный вектор l

плоскости P, - направляющий

вектор прямой l, а j - угол между прямой

и плоскостью. a j l ₁

Если l ₁ - проекция прямой l на P

плоскость P, то и тогда

Окончательно, считая , получаем

(4)

Если прямая и плоскость перпендикулярны, то векторы и коллинеарны, и тогда условие перпендикулярности примет вид

Если они параллельны, то эти векторы перпендикулярны, и условие параллельности примет вид

5.6. Пересечение прямой с плоскостью

Найдем точку пересечения прямой с плос-костью .

Запишем уравнение прямой в параметрической форме и, подставив параметрические уравнения прямой в уравнение плоскости, получим уравнение

Исключая параметр t, получим

(5)

Здесь возможны три случая:

1. По формуле (5) вычисляем значение параметра t и из уравнений прямой определяем координаты точки пересечения.

2. , а . В этом случае прямая параллельна плоскости.

3. и . Тогда прямая принадлежит плоскости.

Пример 3. Определить взаимное расположение прямой, проходящей через две точки и , с плоскостью

Составим по формуле (1) уравнения прямой проходящей через эти точки:

Определим угол между этой прямой и плоскостью по формуле (4):

Из этого следует, что прямая параллельна плоскости. Проверим, принадлежит ли она плоскости? Подставим координаты точки в уравнение плоскости:

откуда следует, что данная прямая принадлежит плоскости.

Пример 4. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку . Р

Из условия компланарности векторов М М ₀

и имеем l М ₁

Раскрывая определитель по элементам первой строки

получим искомое уравнение плоскости Р:

Лекция № 13. Тема 6: Поверхности

6.1. Уравнение поверхности

Аналогично, как и для случая линии на плоскости, уравнение поверхности – это уравнение с тремя переменными , которому удовлетворяют координаты любой точки поверхности и не удовлетворяют координаты никакой другой точки, не лежащей н