Векторная алгебра

Лекция № 5. Тема 1: Векторы

1.1. Определение вектора

Все величины, с которыми нам приходилось встречаться до настоящего времени в физике, технике были двух видов: скалярные, которые харак-теризуются одним числовым значением и векторные, - характеризуются числовым значением и направлением.

Пример 1. Скалярные величины: масса, объём, температура и т.д. Векторные величины: сила, скорость, ускорение и т. д.

Определение 1. Направленный отрезок называется вектором и обозна-чается . А

В

Определение 2. Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной или модулем и обозначается

Если или , то векторы называются соответственно единичным и нулевым.

Определение 3. Векторы называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Определение 4. Векторы называются компланарными, если существует плоскость, которой они параллельны.

Определение 5. Два вектора называются равными, если они коллине-арные, одинаково направлены и имеют равные модули (равные длины).

Пусть задан некоторый вектор и ось l.

Определение 6. Проекцией вектора на ось l называется величина где - угол между вектором и осью l.

В

А

l

1.2. Линейные операции над векторами

1. Произведение вектора на число.

Определение 7. Произведением вектора на число называется вектор определяемый следующими условиями: вектор коллинеарен вектору векторы и одинаково направлены, если и противоположны, если

Пример 2. Построить вектор

Из этого определения следует условие коллинеарности двух векторов:

Пусть ненулевой вектор, тогда для любого коллинеарного ему вектора существует единственное число удовлетворяющее равенству

Действительно, если векторы одинаково направлены и если они противоположно направлены.

2. Сложение векторов.

Определение 8. Суммой двух векторов и называется вектор выходящий из их общего начала, который служит диагональю паралле-лограмма, сторонами которого являются векторы и , и обозначается

или

Второй способ построения суммы двух векторов легко распространить на любое число слагаемых. В результате получаем, так называемое правило многоугольника:

Чтобы построить сумму векторов, нужно в конце первого вектора построить второй, в конце второго – третий и т.д. Вектор, соединяющий начало первого с концом последнего и представляет собой искомую сумму.

С помощью рисунков легко убедиться в справедливости следующих свойств:

1. сложение коммутативно;

2. ассоциативно.

3. Вычитание векторов.

Определение 9. Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по модулю и противоположно направленный, называется противоположным вектором и обозначается

Определение 10. Разностью векторов и называется сумма векторов и т.е.

Построение вектора

основано на построении суммы

векторов

Замечание 1. Из определений 6 и 8 геометрически весьма просто показать следующие свойства:

1.

2.

1.3. Декартова система координат

Зададим в пространстве три единичных взаимно перпендикулярных вектора: Приведём их к общему началу – точке О. Рассмотрим систему координат, направление осей: z

О х, О у, О z, которой заданы этими

векторами Такая система

координат называется декартовой M

системой координат. Векторы

называются базисом, а каждый из

этих векторов – ортом. y

Покажем, что если задан базис O B

, то любой вектор A N

пространства можно единственным x

образом разложить по нему, т.е. представить в виде

(1)

Приведём вектор к началу системы координат – точке О. Из конца вектора - точки М опустим перпендикуляр MN на плоскость О ху. Проведём из точки N прямые, параллельные осям координат. Построим векторы Из построения получаем

(2)

А так как то выражение (2) примет следующий вид

(3)

В силу коллинеарности векторов и и и существуют такие числа , для которых выполняется

(4)

Тогда формула (3) с учетом (4) принимает вид (1), что и требовалось доказать. Единственность разложения легко доказать от противного.

Сокращенно формула (1) записывается в виде

Определение 11. Числа называются координатами вектора или его компонентами.

Используя соотношение (1), легко доказать следующие теоремы:

Теорема 1. Если и , то их сумма

Теорема 2. Если и - любое число, то произведение вектора на это число

Следствие. Если векторы и коллинеарны, то и тогда условие коллинеарности векторов имеет вид

(6)

Определение 12. Радиус-вектором точки М z

называется вектор М

Определение 13. Координаты радиус–вектора

точки М называются координатами точки М

и при этом пишут x O y

Замечание 2. Аналогично определяется система координат на плоскости О ху. Здесь образуют базис векторы и , а оси - О х и О у. Тогда получим

.

Замечание 3. Из доказательства формулы (1) следует, что геометрически координаты вектора – суть его проекции на соответствующие координатные оси.

Замечание 4. Аналогично можно показать, что базис в пространстве образуют любые три некомпланарных вектора: т.е. любой вектор можно представить в виде

Пример 3. Найти координаты вектора в базисе векторов: заданных в декартовой системе координат.

Требуется найти координаты из векторного равенства Перейдём к координатной форме

или, подставляя координаты векторов и

Полученную систему решим методом Гаусса. Переставим первое уравнение со вторым. Затем первое уравнение умножим на 2 и сложим со вторым, первое умножим на 3 и сложим с третьим, получим

Из третьего уравнения вычтем второе, получим

Отсюда последовательно находим координаты вектора в базисе векторов :

Таким образом, окончательно имеем

Лекция № 6.

1.4. Способы задания векторов

Вектор может быть задан следующими способами:

1. Координатами вектора

2. Координатами начальной z

и конечной точек.

3. Модулем вектора и углами , M

которые он образует с координатными осями.

При этом значения

называются направляющими косинусами. O y

Между этими способами задания a _z

векторов существует определённая связь. a _x

Например, переход от (2) к (1) xa _y

осуществляется следующим образом:

так как , то z A

.

Переход от (3) к (1) и наоборот

осуществляется по формулам: B

x O y

1.5. Деление отрезка в заданном отношении

Рассмотрим отрезок АВ, где точки и заданы. Требуется найти точку такую, что отношение z А

Построим векторы: М

Из условия коллинеарности векторов

и имеем В

Полученное равенство представим в

координатной форме х О у

или окончательно

(1)

Замечание 1. Из формул (1) следует частный случай деления отрезка пополам

Пример 1. Треугольник задан координатами своих вершин Найти его центр тяжести. z В

Известно, что центр тяжести треугольника

лежит на пересечении его медиан и, если

точка К - середина стороны ВС, то по А М К

свойству медиан у

Определим вначале координаты х С

точки К:

далее по формулам (1) получим координаты точки М:

Тема 2: Скалярное произведение

2.1. Скалярное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними и обозначается

(2)

Замечание 2. Формулу (2) можно представить в другой форме

(3)

откуда получим

Рассмотрим механический смысл скалярного произведения. Если - постоянная сила, а - вектор перемещения, то - работа силы на перемещении

Из определения скалярного произведения следуют его свойства:

1. - скалярное произведение коммутативно.

2. , если векторы и перпендикулярны (ортогональны), или хотя бы один из них является нулевым вектором.

3.

Если воспользоваться замечанием 1 из лекции 5 и формулами (3), то легко доказать следующее свойство:

4.

Таким образом, операции со скалярным произведением аналогичны операциям с многочленами.

2.2. Скалярное произведение векторов, заданных координатами

Из определения и свойства (1) скалярного произведения следуют формулы: .

Аналогично получаем:

Тогда, если

то

(4)

2.3. Длина вектора. Угол между двумя векторами.

Направляющие косинусы

По формулам (2) и (4) получаем

откуда

(5)

Из определения скалярного произведения и формул (4), (5) следует

(6)

Аналогично получим

(7)

Если в формуле (6) положить , то найдем

.

Аналогично можно получить выражения для оставшихся двух направ-ляющих косинусов

; . (8)

Замечание 3. Формулу (5) для модуля вектора можно было получить, исходя из геометрического смысла координат вектора, используя теоре-му Пифагора.

Замечание 4. Из выражений (8) для направляющих косинусов следует их основное свойство

Пример 2. Даны два вектора Найти их скаляр-ное произведение и угол между ними.

По формулам (5) и (7) получаем

Пример 3*. Найти координаты единичного вектора, который перпенди-кулярен вектору и образует угол с вектором

Из свойства направляющих косинусов следует, что координаты еди-ничного вектора равны значениям соответствующих направляющих косинусов и поэтому из условия задачи получаем следующую систему уравнений

Из второго уравнения системы получаем Тогдареньонний из первого уравнения имеем . Если полученные выражения подставить в третье уравнение системы, то приходим к квадратному уравнению

Из этого уравнения и . Тогда окончательно нахо-дим два единичных вектора , удовлет-воряющих условию задачи.

Лекция № 7. Тема 3: Векторное произведение

3.1. Векторное произведение двух векторов и его основные свойства

Определение 1. Векторным произведением двух векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:

1.

2. вектор перпендикулярен векторам и .

3. вектора образуют правую тройку, т.е. из конца третьего вектора кратчайший поворот от вектора ко второму вектору виден против часовой стрелки.

В противном случае тройка векторов называется левой.

а) правая б) левая

Обозначается векторное произведение: или

Из определения векторного произведения следуют его свойства и геометрический смысл:

Модуль векторного произведения численно равен площади паралле-лограмма, построенного на этих векторах.

Основные свойства векторного произведения:

1. - векторное произведение антикоммутативно.

2. , где , если и коллинеарные или по крайней мере один из сомножителей является нулевым вектором.

3.

4.

Замечание 1. Тройка базисных векторов является правой.

3. 2. Векторное произведение векторов, заданных своими координатами

Из определения векторного произведения следует, что:

(1)

Тогда с учетом формул (1) и свойств векторного произведения получаем

(2)

Пример 1. Заданы векторы и Найти площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

Исходя из геометрического смысла векторного произведения, получим

Тогда

Замечание 2. Площадь треугольника, построенного на векторах и , будет равна .

3.3. * Механический смысл векторного произведения

Если - радиус-вектор точки , к которой при-ложена сила , то момент этой силы относительно точки вычисляется по формуле

(3)

При этом - моменты силы относительно координатных осей. z

Рассмотрим задачу из механики: 3 M

В точке приложена сила

. Требуется найти моменты

этой силы относительно координатных осей. 2 y

По формуле (3) получаем х

Полезно отметить тот факт, что значения этих моментов совпадают со школьным определением – “Момент равен произведению силы на плечо“. См. рисунок!

Тема 4: Смешанное произведение

4. 1. Смешанное произведение и его основные свойства

Определение 2. Векторно-скалярное произведение называется смешанным и обозначается

Рассмотрим его геометрический смысл.

Построим параллелепипед на векторах

Его объем равен в

его основании лежит параллелограмм с h

площадью

Его высота поэтому имеем

(4)

Знак в выражении совпадает со знаком и поэтому смешанное произведение положительно, если вектора образуют правую тройку.

Таким образом, приходим к следующему правилу:

Смешанное произведение некомпланарных векторов по модулю равно объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах. Оно поло-жительно, если тройка векторов правая и отрицательно, если левая.

Рассмотрим основные свойства смешанного произведения:

1. Если смешанное произведение равно нулю, то векторы компланарны.

Верно и обратное, т.е., если сомножители компланарны, то смешанное произведение равно нулю.

Равенство возможно в следую-щих случаях:

а) хотя бы один из векторов является нулевым, то векторы компланарны;

б) и коллинеарны - компланарны;

в) - компланарны.

Аналогично доказывается обратное утверждение.

2. , т.е. при циклической перестановке сомножителей смешанное произведение знак не меняется. Это следует из того, что в данном случае ориентация тройки этих векторов сохраняется. В остальных случаях перестановки сомножителей ориентация векторов меняется и тогда

3. где А и В кон-станты.

Это свойство следует из свойств векторного и скалярного произве-дений.

4.2. Смешанное произведение векторов, заданных своими координатами

Пусть заданы векторы . Требуется найти их смешанное произведение.

Из определения скалярного и векторного произведений следует

Таким образом, получаем формулу

(5)

Пример 2: Проверить – лежат ли векторы , и в одной плоскости, т.е. являются ли они компланарными.

По формуле смешанного произведения векторов имеем:

Поскольку , то данные векторы , и лежат в одной плоскости, т.е. являются компланарными.

Пример 3. Пирамида задана координатами своих вершин Найти высоту, проведённую из вершины D на грань АВС. D

Построим векторы

Н С

Из геометрии известно, что объем

пирамиды равен трети произведения А

площади основания на ее высоту Н, т.е. В

, (6)

поскольку основанием пирамиды является треугольник (его площадь равна половине площади параллелограмма ), а высота пирамиды равна высоте соответствующего параллелепипеда.

Используя геометрический смысл смешанного произведения и форму-лы (5) и (6), получим

Из формулы (2) и геометрического смысла векторного произведения следуют

Снова воспользуемся известной из геометрии формулой

и тогда окончательно получим