Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) САУ 8 страница

а при двух нулевых полюсах при , а при малых w.

Теорема справедлива также и при наличии в знаменателе передаточной функции линейной части не более двух чисто мнимых корней, но при этом требуются некоторые другие добавочные простые условия [2], называемые условиями предельной устойчивости.

Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики , которая определяется следующим образом:

(4.117)

где с – нормирующий множитель.

График имеет вид (рис. 17.18, а), аналогичный , когда в выражениях и разность степеней . Если же разность степеней , то конец графика будет на мнимой оси ниже начала координат (рис. 17.18, б).

Преобразуем левую часть неравенства (4.116):

Тогда, положив

и используя соотношение (4.117), получим вместо (4.116) для теоремы В.М. Попова условие:

(4.118)

при всех .

Очевидно, что равенство

(4.119)

представляет уравнение прямой на плоскости .

Отсюда вытекает следующая графическая интерпретации теоремы В.М. Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на плоскости , проходящую через точку , чтобы вся кривая лежала справа от этой прямой.

На рис. 17.19 показаны случаи выполнения теоремы. В этих случаях нелинейная система устойчива при любой форме однозначной нелинейности, ограниченной лишь условием (4.115). На рис. 17.20 показаны случаи, когда теорема не выполняется, т. е. нелинейная система не имеет абсолютной устойчивости.

Заметим, что, например, в задаче о самолете с автопилотом (§ 17.2) условие (4.54) означает любое расположение нелинейной характеристики во всем первом (и третьем) квадранте. Во всех подобных случаях, согласно рис. 17.17 имеем . В теореме В.М. Попова при этом вместо (4.116) получаем условие

, (4.120)

а вместо (4.119)

(4.121)

при всех . Поэтому в графической интерпретации прямая должна проходить не так, как показано на рис. 17.19, а через начало координат.

В частности, для указанного примера (§ 17.2) уравнение (4.63) можно преобразовать к виду

,

где обозначено , причем р – производная по .

Передаточная функция линейной части системы будет

.

Отсюда

.

Умножив числитель и знаменатель на , получим

,

,

А согласно (4.117)

(4.122)

Неравенство (4.121) принимает вид

(4.123)

Очевидно, что это неравенство может быть выполнено при любом , если

(4.124)

и если берется сколь угодно большим, чтобы обеспечить неравенство (4.123) при сколь угодно малых .

Полученное условие (4.124) выполняется при

, если ,

, если ,

что точно совпадает с найденными ранее условиями абсолютной устойчивости данной системы (4.69) и (4.70). Смысл практической реализации этих условий был разъяснен в § 17.2.

Графически критерий устойчивости выражается в том, что вся кривая , построенная согласно (4.122), расположена (рис. 17.21, а) справа от прямой , обозначенной штрих-пунктиром, со сколь угодно малым наклоном, если . Если же (рис. 17.21, б), то такую прямую провести невозможно и, следовательно, нелинейная система не будет абсолютно устойчивой.

Здесь был приведен простой пример, в котором условия устойчивости по методу В.М. Попова выражаются в общем буквенном виде. В большинстве технических задач этого не получится. Однако видно, что описанный частотный критерий устойчивости В.М. Попова для систем с одной однозначной нелинейностью в его графической форме может быть применен при любой сложности линейной части системы и численно заданных коэффициентах уравнений. Более того, он может быть применен в случае, когда не заданы уравнения, но известна экспериментальна снятая амплитудно-фазовая частотная характеристика линейно части . Чтобы установить устойчивость системы согласно рис. 17.19, надо перестроить в характеристику , пользуясь формулами (4.117).

Очертание нелинейности может быть неизвестным. Необходимо знать лишь, в пределах какого угла (рис. 17.17) она расположена. Для конкретно заданных форм нелинейности область устойчивости, вообще говоря, будет несколько шире, но данным методом это не определяется (см. главу 18).

4.4 Исследование систем с переменной структурой

Понятие о системах с переменной структурой было дано в начале книги (§ 2.3), а об их уравнениях – в конце главы 16.

Покажем методику исследования систем с переменной структурой при отсутствии внешнего воздействия на примере системы второго порядка при линейном объекте и линейных структурах регулятора, так что нелинейность системы будет заключаться в автоматическом переключении этих структур.

Имея в виду второй порядок системы, используем изображение процессов на фазовой плоскости, которое для линейных систем представлено было выше на рис. 16.8–16.13.

Рассмотрим систему (рис. 17.22), не обладающую при постоянной структуре собственной устойчивостью [22]. В самом деле, если Y = const, то уравнение системы будет

,

и получатся незатухающие колебания, изображаемые на фазовой плоскости концентрическими эллипсами (рис. 16.8).

Если же звену Y придать вид, как на рис. 16.27, а, где с переключением, согласно формуле (4.71), где , , причем , то получим уравнение системы

при , (4.125)

при . (4.126)

Первое из них будет действовать в первом и третьем квадранте фазовой плоскости (рис. 17.23), а второе – в четвертом и втором квадрантах. С эллипса 1 в первом квадранте (соответствует коэффициенту ) изображающая точка переходит на эллипс 2 в четвертом квадранте (соответствует коэффициенту ), затем на эллипс 3, концентрический с первым (снова коэффициент ), далее на эллипс 4, концентрический с эллипсом 2 и т. д. В результате таких переключений системы становится устойчивой.

В данном примере переходной процесс представляет собой затухающие колебания. В большинстве случаев для избежания колебательных процессов в системах с переменной структурой следует стремиться реализовать скользящий режим. Для этого переключения в системе должны производиться в таких местах, где фазовые траектории направлены навстречу друг другу.

Покажем это на примере.

Пусть в той же системе (рис. 17.22) звено также устроено по принципу рис. 16.27, а, но

, где . (4.127)

Тогда прежнее выражение для :

получает другой смысл. Возьмем при этом

, .

Получим два уравнения системы

при , (4.128)

при . (4.129)

Линиями раздела между областями их действий будут

и ,

т.е. ось ординат и наклонная прямая на фазовой плоскости (рис. 17.24). При этом уравнение (4.128) будет действовать в первом и третьем секторах фазовой плоскости. Поэтому там фазовыми траекториями будут служить, согласно рис. 16.8, концентрические эллипсы. Уравнение же (4.129) будет действовать во втором и четвертом секторах фазовой плоскости (рис. 17.24), 7где фазовые траектории изобразятся в соответствии с рис. 16.3.

Обе эти линейные структуры (4.128) и (4.129) по отдельности не обладают устойчивостью. Однако благодаря переключениям система в целом становится устойчивой.

В отличии от предыдущей системы здесь, как видно из рис. 17.24, нет колебательного процесса. При любых начальных условиях фазовая траектория приходит на наклонную прямую , где она встречается с фазовой траекторией с противоположным ей направлением движения. Поэтому переход изображающей точки через прямую невозможен. В результате изображающая точка вынуждена двигаться вдоль прямой в сторону начала координат, что и представляет собой скользящий режим переходного процесса в данной системе.

Практически скользящее движение будет сопровождаться вибрациями вследствие быстрых переключений то в одну, то в другую сторону, как и показано на рис. 17.24. В виду не идеальности системы (дополнительной инерционности или запаздывания) это вибрации будут иметь конечную амплитуду и частоту. При идеальном же рассмотрении, проведенном выше, амплитуда их равна нулю, а частота – бесконечности.

Рассмотрение реального переходного процесса скользящего типа с реальными вибрациями за счет дополнительной инерционности, повышающей порядок уравнения, возможно с помощью приближенного метода гармонической линеаризации. Это можно сделать аналогично рассмотрению медленно меняющихся сигналов в автоколебательных системах (§ 19.2), если за медленно меняющийся сигнал принять основное апериодическое движение в скользящем процессе, а наложенные на него вибрации рассчитать, как автоколебательную составляющую процесса (см. [101]).

1) Точнее, за такое малое время, в течение которого торпеда не успевает заметно повернуться, т. е. много меньше возможного периода колебаний торпеды.