Уравнения динамики и динамические характеристики нелинейных (фрикционных) САУ 6 страница

Если же функция будет не знакоопределенной, а знакопостоянной, то очевидно, что траектория изображающей точки М не везде будет пересекать поверхности , а может их касаться в тех точках, где обращается в нуль (помимо начала координат). Но так как во всех других местах фазового пространства функция имеет один и тот же знак, вследствие чего изображающая точка может идти только извне внутрь поверхности , то при решении задачи остается только проверить, не «застрянет» ли изображающая точка там, где (см. пример ниже).

Замечания к теореме Ляпунова об устойчивости. По поводу сформулированной теоремы Ляпунова об устойчивости системы необходимо сделать следующие два важных вывода:

1. В теореме речь идет о подборе функции Ляпунова . Вообще говоря, при заданных в форме (4.46) уравнениях системы регулирования можно подобрать несколько различных вариантов функции , поскольку требуется только знакоопределенность ее и ее производной. Различные варианты функции , удовлетворяющие теореме, могут дать соответственно различные варианты условий устойчивости для одной и той же системы регулирования. При этом одни из них будут шире, другие уже, последние могут входить в первые как частный случай и т. д.

Поэтому, вообще говоря, данная теорема Ляпунова обеспечивает получение достаточных условий устойчивости, которые не всегда будут и необходимыми, т. е. при выполнении условий теоремы система наверняка будет устойчивой, но эти условия могут не охватывать всей области устойчивости системы по параметрам. В самом деле, если выбрана функция , удовлетворяющая теореме, нет уверенности в том, что нельзя подобрать другой вариант функции , который бы еще более полно охватывал область устойчивости данной системы.

Геометрически это значит, что, получив определенное семейство поверхностей и убедившись, траектории изображающей точки М приближаются к началу координат, пересекая эти поверхности извне внутрь, нельзя быть уверенным в том, что не существует еще других вариантов траекторий изображающей точки М, которые в отдельных местах могут пересекать данные поверхности изнутри вовне, но все же с течением времени в конце концов неограниченно приближаться к началу координат. такие траектории будут соответствовать другому семейству поверхностей , т. е. другому варианту выбора функции Ляпунова.

В ряде технических задач можно вполне удовлетвориться этими достаточными условиями устойчивости. От более или менее удачного подбора функции Ляпунова будет зависеть большая или меньшая близость полученных достаточных условий устойчивости к необходимым и достаточным, т. е. более или менее полный охват всей области устойчивости данной системы. Существуют, конечно, и такие функции , которые соответствуют всей области устойчивости.

2. К сформулированной выше теореме Ляпунова необходимо добавить, что понятие устойчивости по Ляпунову допускает, чтобы при знакоопределенной функции производная от нее была необязательно знакоопределенной или знакопостоянной, а могла быть и тождественно равна нулю во всем рассматриваемом фазовой пространстве. В этом случае, проводя аналогичные прежним рассуждения, легко убедиться, что изображающая точка М (рис. 17.10) будет оставаться все время на какой-нибудь одной из поверхностей , куда ее забросили начальные условия. В результате система хотя и не будет асимптотически приближаться к установившемуся состоянию, но все же будет все время в достаточной близости от него.

Теореме Ляпунова о неустойчивости нелинейных систем. Поскольку предыдущая теорема дает, вообще говоря, только достаточные условия устойчивости и поскольку кроме области устойчивости нелинейная система может иметь целый ряд особых областей (§ 16.1), то может возникнуть потребность в отдельном определении области неустойчивости путем использования нижеследующей теоремы Ляпунова, которая дает достаточные условия неустойчивости системы.

Теорема формулируется так: если при заданных в форме (4.46) уравнениях системы п-го порядка производная от какой-нибудь функции Ляпунова окажется знакоопределенной, причем сама функция в какой-нибудь области, примыкающей к началу координат, будет иметь знак, одинаковый со знаком , то данная система неустойчива.

Справедливость этой теоремы геометрически иллюстрируется следующим образом. Пусть для какой-нибудь заданной системы второго порядка (п = 2) найдена такая знакопеременная функция , для которой производная

оказалась знакоопределенной положительной. Пусть при этом линии на фазовой плоскости располагаются как показано на рис. 17.11, где линии АВ и CD соответствуют значениям и разделяют те области, внутри которых и .

Возьмем изображающую точку М, как показано на рис. 17.11. Поскольку там и везде

,

то изображающая точка М с течением времени будет двигаться и пересекать линии , переходя от меньших значений С к большим. Она может при этом лишь временно приблизится к началу координат, но в конце концов будет неограниченно удаляться от начала координат. Это соответствует расходящемуся процессу, т. е. неустойчивости системы. Аналогично можно показать справедливость теоремы и для системы любого порядка п, проводя те же рассуждения для п -мерного фазового пространства.

Наиболее полно решение нелинейных задач теории регулирования с применением указанных теорем дано в известной книге А.И. Лурье [81], где предложено брать функцию Ляпунова в виде «квадратичная форма плюс интеграл» (см. также [98]).

Приведем два примера применения изложенных теорем Ляпунова к исследованию нелинейных систем автоматического регулирования.

Пример учета нелинейности привода регулирующего органа. Такой пример применительно к системе самолета с курсовым автопилотом (в упрощенном виде) был рассмотрен в работе А.И. Лурье и В.Н. Постникова. Схема данной системы автоматического регулирования представлена на рис. 17.12, а.

Пусть все звенья системы являются линейными за исключением электродвигателя (с редуктором), для которого будем рассматривать его реальную характеристику (рис. 17.12, б). Она может иметь произвольное криволинейное очертание с зоной застоя (при ) и с зоной насыщения (при ). Наклон характеристики и ее криволинейность могут быть любыми, лишь бы только соблюдались условия

, при и при . (4.54)

Требуется найти условия устойчивости данной системы автоматического регулирования.

Уравнение самолета, как регулируемого объекта в грубо упрощенном виде будет

, (4.55)

где – отклонение курсового угла самолета; d – отклонение руля.

Уравнения чувствительных элементов (гироскопов с потенциометрами):

, . (4.56)

Уравнение обратной связи

. (4.57)

Уравнение усилителя

. (4.58)

Уравнение электродвигателя с редуктором и рулем

, (4.59)

где задается графиком рис. 17.12, б.

Уравнения (4.56), (4.57) и (17.58) можно свести к одному

, (4.60)

где ; ; .

Для перехода к уравнениям вида (4.46) введем новые переменные:

(4.61)

и безразмерное время

. (4.62)

С введением этих переменных дифференциальные уравнения всей системы (4.55) (4.59) и (4.60) преобразуются к виду (4.46), а именно:

(4.63)

где

(4.64)

т. е. функция имеет все те же свойства, что и заданная функция (рис. 17.12, б), и отличается лишь масштабом чертежа по оси абсцисс в связи с заменой переменной на согласно третьему из равенств (4.61).

Установившийся процесс полета при данной системе согласно (4.55), (4.59), (4.60) и графику рис. 17.12, б будет иметь место при

, , , (4.65)

т. е. наличие зоны застоя двигателя приводит к тому, что в установившемся процессе курсовой угол может принять любое постоянное значение в пределах (4.65).

В новых переменных (4.61) установившийся процесс полета определяется значениями:

, , , (4.66)

чему соответствует любая точка отрезка АВ в фазовом пространстве (рис. 17.13, а).

При отыскании условий устойчивости рассмотрим два случая: и .

Случай . Возьмем функцию Ляпунова в виде

. (4.67)

Здесь интеграл будет всегда положительным, так как функция нечетная (см. условие (4.54)). Поэтому есть знакоопределенная положительная функция, если , обращаясь в нуль на отрезке установившегося процесса АВ (рис. 17.13). Поверхности окружают этот отрезок (рис. 17.13, б), стягиваясь к нему с уменьшением С.

Составим производную от функции Ляпунова

,

причем частные производные возьмем из (4.67), а производные по безразмерному времени – из уравнений системы (4.63). Тогда

.

Представим это в виде

. (4.68)

Эта функция знакопостоянная, так как она не включает в себя координату , а потому обращается в нуль не только на отрезке установившегося процесса АВ, а на всей полосе шириной АВ в плоскости (рис. 17.13, в). Но вне этой полосы, согласно (4.68) она будет всюду отрицательна при

, если . (4.69)

Поэтому, согласно теореме Ляпунова об устойчивости выражение (4.69) является достаточным условием устойчивости рассматриваемой нелинейной системы самолета с курсовым автопилотом (при любой кривизне и любом наклоне характеристики двигателя, имеющей вид рис. 17.12, б).

Траектория изображающей точки М будет пересекать поверхности извне внутрь везде, где . Нужно только проверить, не «застрянет» ли изображающая точка М там, где обращается в нуль (помимо отрезка установившегося процесса АВ). В данном случае речь идет о том, не останется ли изображающая точка на полосе, показанной на рис. 17.13, в, где , если она случайно на нее попадет.

Для решения этого вопроса найдем проекции скорости изображающей точки М: , , , когда эта точка находится в любом месте указанной полосы. Поскольку там

; ; ,

то искомые проекции скорости, согласно (4.63), будут

, , .

Таким образом, если изображающая точка М попадет на указанную полосу вне отрезка АВ (рис. 17.13, в), то она не останется в ней, а пройдет ее поперек по прямой параллельной оси с постоянной скоростью, равной , как показано стрелками на рис. 17.13, в. Пройдя полосу, изображающая точка снова будет пересекать поверхности извне внутрь, т. е. данная система регулирования будет устойчивой.

Случай . Для этого случая возьмем функцию Ляпунова в виде

.

Производная от нее будет

.

Отсюда, аналогично предыдущему, приходим к достаточному условию устойчивости системы в виде

, если . (4.70)

Общий вывод. Полученные в данной задаче достаточные условия устойчивости (4.69) и (4.70) после подстановки выражений g и через параметры системы (17.64) принимают вид соответственно

, если ;

, если .

Первое из этих условий устойчивости говорит о том, что передаточное число обратной связи надо сделать большим, если производная введена в закон регулирования недостаточно интенсивно; из второго же условия устойчивости следует, что система будет устойчива при любой обратной связи, если передаточное число по производной достаточно велико.

Как видим, данные условия устойчивости не зависят от формы характеристики двигателя (рис. 17.12, б), т. е. они одинаковы при любой кривизне, любом наклоне и любой зоне застоя, в том числе и при однозначной релейной характеристике двигателя постоянной скорости, а также и при линейной характеристике. Такие условия называются условиями абсолютной устойчивости. Они гарантируют, что при их выполнении система будет устойчива при любой нелинейности с ограничением лишь (4.54). В действительности система может быть устойчивой и в некоторой области за пределами этих условий устойчивости при конкретно заданной форме нелинейности (см. гл. 18).

Примет учета нелинейности измерителя регулируемой величины. На основании вышеизложенных теорем Ляпунова М.А. Айзерман показал, что если уравнения системы содержат нелинейность

(4.71)

где – однозначная нелинейная функция, обращающаяся в нуль при , а – любое целое число из 1, 2, … п, то для устойчивости системы достаточно, чтобы для линеаризованной системы (4.71) при замене можно было построить функцию Ляпунова , производная от которой является знакоопределенной отрицательной функцией при любом значении а в интервале , если кривая лежит между прямыми и , как изображено, например, на рис. 17.14, а.

Пусть, например, в прежней системе самолета с курсовым автопилотом (рис. 17.12, а) уравнение регулируемого объекта имеет вид (4.55), привод руля имеет линейную характеристику , но реостат при чувствительном элементе (измерителе регулируемой величины ) имеет нелинейную характеристику, в результате чего получается нелинейное уравнение автопилота

, (4.72)

где ; ,

а – нелинейная функция, например, вида рис. 17.14, б.

Введем обозначения переменных:

; ; .

Тогда уравнение автопилота (4.72) и самолета (4.55) примут вид (4.71), а именно:

(4.73)

Зададимся функцией в виде

,

где все шесть коэффициентов неизвестны. Потребуем, чтобы функция

(4.74)

при фиксированном значении в уравнениях (4.73) имела вид

. (4.75)

Тогда путем приравнивания коэффициентов соответствующих выражений (4.74) и (4.75) можно найти все шесть величин из системы шести алгебраических уравнений. Здесь приводится результат решения только для трех коэффициентов, которые понадобятся в дальнейшем, а именно:

, , , (4.76)

где

(4.77)

Затем потребуем, чтобы выражение (4.74) при замене в уравнениях (4.73) , где , имело вид

,

что дает значения:

(4.78)

Функция будет знакоопределенной отрицательной, как требуется по условию, если

, ,

.

Эти неравенства с учетом (4.78) приводятся к следующему:

.

Подставив сюда (4.76), увидим, что это условие выполняется, если лежит в интервале , где

, (4.79)

Откуда видно, что и . При этом требуется еще . Не трудно проверить, что последнее требование совпадает с критерием устойчивости (см. § 6.2) для данной системы в линеаризованном виде при замене (рис. 17.14, б), так как характеристическое уравнение согласно (4.55) и (4.72) в этом случае будет

. (4.80)

Итак, для устойчивости рассматриваемой нелинейной системы автоматического регулирования достаточно, во-первых, чтобы выполнялся критерий устойчивости Гурвица для линеаризованной системы и, во-вторых, чтобы нелинейная характеристика измерителя регулируемой величины лежала, как указано на рис. 17.14, б, между прямыми и , причем , , где значения определяется формулой (4.79), в которой величины , , (4.77) выражаются через параметры данной системы и через первоначально принятое значение при линеаризации .